Question

【题目】给定一个函数，如果这个函数的图象上存在一个点，它的横、纵坐标相等，那么这个点叫做该函数的不变点．

（1）一次函数的不变点的坐标为______．

（2）二次函数的两个不变点分别为点（在的左侧），将点绕点顺时针旋转90°得到点，求点的坐标．

（3）已知二次函数的两个不变点的坐标为．

①求的值；

②如图，设抛物线与线段围成的封闭图形记作．点为一次函数的不变点，以线段为边向下作正方形．当两点中只有一个点在封闭图形的内部（不包含边界）时，求出的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（1，1）；（2），；（3）①，②或

【解析】

（1）联立一次函数y＝3x﹣2与y＝x组成方程组，解之即可得出结论；

（2）联立二次函数y＝x2﹣3x+1与y＝x组成方程组，解之即可得出点P、Q的坐标，由点P、Q在直线y＝x上，可得出△PQR为等腰直角三角形，过点P作PP′⊥QR，垂足为点P′，根据等腰直角三角形的性质即可得出点R的坐标；

（3）①根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出a、b的值；

②联立一次函数y＝﹣x+m与y＝x成方程组，解之即可得出点C的坐标，根据正方形的性质可得出点D、E的坐标，分只有点D在图形M的内部及只有点E在图形M的内部两种情况找出关于m的不等式组，解之即可得出结论（对于只写答案不写过程的可以直接代入点D、E的坐标，利用极限法找出m的取值范围）．

解：（1）根据题意得：，

解得：，

∴一次函数y＝3x﹣2的不动点的坐标为（1，1）．

（2）根据题意得：，

解得：，，

，，，．

∵点P、Q在直线y＝x上，

∴∠QPR＝45°，

∴△PQR为等腰直角三角形．

过点P作PP′⊥QR，垂足为点P′，如图1所示．

，，，，

，，，

，．

（3）①∵二次函数y＝ax2+bx﹣3的两个不变点的坐标为A（﹣1，﹣1）、B（3，3），

，

解得：．

②，解得：，

点的坐标为，．

∵四边形ACDE为正方形，点A、C在直线y＝x上，A（﹣1，﹣1），

，，点，．

当只有点在图形的内部时，有，

解得；

当只有点在图形的内部时，有，

解得：．

综上所述：的取值范围为或．