Question

已知“6”字形图中，FM是大⊙O的直径，BC与大⊙O相切于B，OB与小⊙O相交于A，AD∥BC，CD∥BH∥FM，DH⊥BH于H，设∠FOB=30°，OB=4，BC=6．
﹙1﹚求证：AD为小⊙O的切线；
﹙2﹚求DH的长．﹙结果保留根号﹚

Answer 1

分析：（1）证OA⊥AD即可．由BC与大⊙O相切于B，得OB⊥BC；AD∥BC，则OB⊥AD．得证．
（2）易证四边形BCDG是平行四边形，则DG=BC=6；由∠FOB=30°，BH∥FM可得∠OBG=30°，∠BGA=60°=∠DGH．在Rt△DGH中运用三角函数求解．

解答：（1）证明：∵BC与大⊙O相切于B，
∴OB⊥BC．
∵AD∥BC，
∴OB⊥AD，即OA⊥AD，
∴AD为小⊙O的切线．

（2）解：∵AD∥BC，CD∥BH，∴四边形BCDG是平行四边形．
∴DG=BC=6．
∵∠FOB=30°，BH∥FM，
∴∠OBG=30°，∠BGA=60°=∠DGH．
在Rt△DGH中，
DH=DG•sin60°=6×

3

2

=3

3

．

点评：此题考查了切线的判定、解直角三角形等知识点，难度中等．