Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，把矩形COAB绕点C顺时针旋转α角，得到矩形CFED．设FC与AB交于点H，且A（0，4），C（8，0）．

（1）当α=60°时，△CBD的形状是______；

（2）设AH=m

①连接HD，当△CHD的面积等于10时，求m的值；

②当0°＜α＜90°旋转过程中，连接OH，当△OHC为等腰三角形时，请直接写出m的值．

Answer 1

【答案】（1）等边三角形（2）①m=5；②m的值是4或4或8-4

【解析】

（1）先根据旋转的性质得∠BCD=60°，CB=CD，然后根据等边三角形的判定方法得到△CBD为等边三角形；

（2）①根据△CHD的面积等于10，可得CH=5，利用勾股定理计算BH的长，从而得m的值；

②分三种情况：

i）当OH=CH时，如图2，

ii）当OH=OC=8时，如图3，

iii）当OC=CH=8时，如图4，此时F与H重合，

分别根据勾股定理计算可得结论．

解：（1）∵矩形COAB绕点C顺时针旋转60度的角，得到矩形CFED，

∴∠BCD=60°，CB=CD，

∴△CBD为等边三角形；

故答案为：等边三角形；

（2）①∵四边形CFED是矩形，

∴∠DCH=90°，

∵△CHD的面积等于10，

∴CDCH=10，

∵CD=4，

∴，CH=5，

Rt△BCH中，由勾股定理得：BH===3，

∴AH=8-3=5，

即m=5；

②当△OHC为等腰三角形时，分三种情况：

i）当OH=CH时，如图2，

∵OA=BC，

∴Rt△AOH≌Rt△BCH（HL），

∴AH=BH=4，

即m=4；

ii）当OH=OC=8时，如图3，

∵OA=4，

由勾股定理得：AH===4，

即m=4；

iii）当OC=CH=8时，如图4，此时F与H重合，

则BH=4，

∴m=8-4，

综上，m的值是4或4或8-4．