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已知抛物线y=ax2+bx+c的图象交x轴于点A(x0,0)和点B(2,0),与y轴的正半轴交于点C,其对称轴是直线x=-1,tan∠BAC=2,点A关于y轴的对称点为点D.
(1)确定A、C、D三点的坐标;
(2)求过B、C、D三点的抛物线的解析式;
(3)若过点(0,3)且平行于x轴的直线与(2)小题中所求抛物线交于M、N两点,以MN为一边,抛物线上任意一点P(x,y)为顶点作平行四边形,若平行四边形的面积为S,写出S关于P点纵坐标y的函数解析式;
(4)当
1
2
<x<4时,(3)小题中平行四边形的面积是否有最大值?若有,请求出;若无,请说明理由.
(1)∵点A与点B关于直线x=-1对称,点B的坐标是(2,0)
∴点A的横坐标是
x0+2
2
=-1,x0=-4,
故点A的坐标是(-4,0)
∵tan∠BAC=2即
OC
|OA|
=2,可得OC=8
∴C(0,8)
∵点A关于y轴的对称点为D
∴点D的坐标是(4,0);

(2)设过三点的抛物线解析式为y=a(x-2)(x-4),
代入点C(0,8),解得a=1.
∴抛物线的解析式是y=x2-6x+8;

(3)∵抛物线y=x2-6x+8与过点(0,3)平行于x轴的直线相交于M点和N点
∴M(1,3),N(5,3),
而抛物线的顶点为(3,-1),
当y>3时,
S=4(y-3)=4y-12,
当-1≤y<3时,
S=4(3-y)=-4y+12;

(4)以MN为一边,P(x,y)为顶点,且当<x<4的平行四边形面积最大,只要点P到MN的距离h最大
∴当x=3,y=-1时,h=4,
S=4h=4×4=16,
∴满足条件的平行四边形面积有最大值16.
练习册系列答案
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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,在直角坐标系中,O是坐标原点,A(3,0)、B(m,
6
5
)是以OA为直径的⊙M上的两点,且tan∠AOB=
1
2
,BH⊥x轴,垂足为H
(1)求H点的坐标;
(2)求图象经过A、B、O三点的二次函数的解析式;
(3)设点C为(2)中的二次函数图象的顶点,问经过B、C两点的直线是否与⊙M相切,请说明理由.
注:抛物线y=ax2+bx+c(c≠0)的顶点为(-
b
2a
4ac-b2
4a
)

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

抛物线y=ax2+bx+3经过点A、B、C,已知A(-1,0),B(3,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,P为线段BC上一点,过点P作y轴平行线,交抛物线于点D,当△BDC的面积最大时,求点P的坐标;
(3)如图2,在(2)的条件下,延长DP交x轴于点F,M(m,0)是x轴上一动点,N是线段DF上一点,当△BDC的面积最大时,若∠MNC=90°,请直接写出实数m的取值范围.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图:
(1)求该抛物线的解析式;
(2)根据图象回答:当x为何范围时,该函数值大于0.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,抛物线y=x2-2x-2交x轴于A、B两点,顶点为C,经过A、B、C三点的圆的圆心为M.
(1)求圆心M的坐标;
(2)求⊙M上劣弧AB的长;
(3)在抛物线上是否存在一点D,使线段OC和MD互相平分?若存在,直接写出点D的坐标;若不存在,请说明理由.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

体育课上,老师用绳子围成一个周长为30米的游戏场地,围成的场地是如图所示的矩形ABCD.设边AB的长为x(单位:米),矩形ABCD的面积为S(单位:平方米).
(1)求S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围);
(2)若矩形ABCD的面积为50平方米,且AB<AD,请求出此时AB的长.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

函数h=3.5t-4.9t2(t的单位:s,h的单位:m)可以描述小敏跳远时重心高度的变化,则他起跳后到重心最高时所用的时间约是(  )
A.0.36sB.0.63sC.0.70sD.0.71s

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,⊙M是以点M(4,0)为圆心,5个单位长度为半径的圆.⊙M与x轴交于点A、B(A在B的左侧),⊙M与y轴的正半轴交于点C.
求:(1)点A、B、C的坐标;
(2)经过点A、B、C三点的抛物线的解析式.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图所示,一座抛物线型拱桥,桥下水面宽度是4m,拱高是2m,当水面下降1m后,水面宽度是多少?(
6
=2.45,结果保留0.1m)

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