Question

已知关于x的一元二次方程x²-6x-k²=0（k为常数）．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设x₁，x₂为方程的两个实数根，且x₁+2x₂=14，试求出方程的两个实数根和k的值．

Answer 1

分析：（1）要证明方程有两个不相等的实数根，只要证明判别式△=b²-4ac的值大于0即可；
（2）根据一元二次方程的根与系数的关系可以得到两根的和是6，结合x₁+2x₂=14即可求得方程的两个实根，进而可求k的值．

解答：（1）证明：∵b²-4ac=（-6）²-4×1×（-k²）=36+4k²＞0（2分）
因此方程有两个不相等的实数根．（3分）

（2）解：∵x₁+x₂=-

b

a

=-

-6

1

=6，（4分）
又∵x₁+2x₂=14，
解方程组

x1+x2=6 x1+2x2=14

解得：

x1=-2 x2=8.

（5分）
将x₁=-2代入原方程得：（-2）²-6×（-2）-k²=0，（6分）
解得k=±4．（7分）

点评：本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系的应用，根据一元二次方程的根与系数的关系，与x₁+2x₂=14联立即可把求方程的解的问题转化为解方程组的问题．