Question

直线y=kx-6过点A（1，-4），与x轴交于点B，与y轴交于点D，以点A为顶点的抛物线经过点B，且交y轴于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如果点P在x轴上，且△ACD与△PBC相似，求点P的坐标；
（3）如果直线l与直线y=kx-6关于直线BC对称，求直线l的表达式．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：综合题

分析：（1）将A坐标代入一次函数解析式求出k的值，进而求出B坐标，根据A为抛物线的顶点，设出抛物线顶点形式，将B坐标代入求出a的值，确定出抛物线解析式；
（2）由k的值确定出一次函数解析式，求出D的坐标，由抛物线解析式求出C坐标，由A的坐标得到∠DCA=45°，且AC=

2

，CD=3，根据B与C坐标得到∠OCB=45°，
可得出∠DCA=∠OCB，由△ACD与△PBC相似，且点P在x轴上，得到点P在B点的左侧，分两种情况考虑：当△CBP∽△ACD时，当△BPC∽△CAD时，分别求出BP的长，即可确定出P的坐标；
（3）过点D作DH⊥BC并延长DH到点M，使HM=HD，连接CM、BM，可得直线BM即为直线l，且CM=CD，∠MCH=∠DCH，根据C与D坐标得到CM=CD，根据B与C坐标得到三角形BOC为等腰直角三角形，利用等腰三角形的性质得到∠OCB=45°，进而得到∠MCH=45°，∠MCD=90°，得出MC⊥y轴，确定出M坐标，设直线l的解析式为y=kx+b，将B与M坐标代入求出k与b的值，即可确定出直线l解析式．

解答：解：（1）∵y=kx-6过点A（1，-4），
∴-4=k-6，
∴k=2，即y=2x-6，
令y=0，得到x=3，即B（3，0），
∵以点A为顶点的抛物线经过点B，
∴设解析式为y=a（x-1）²-4，
将x=3，y=0代入得：0=a（3-1）²-4，
解得：a=1，
∴抛物线的表达式为y=x²-2x-3；

（2）∵k=2，
∴y=kx-6，即y=2x-6，
∴D（0，-6），
∵抛物线与y轴交于点C，
∴C（0，-3），
∵A（1，-4），
∴∠DCA=45°，且AC=

2

，CD=3，
∵B（3，0），C（0，-3），
∴∠OCB=45°，
∴∠DCA=∠OCB，
∵△ACD与△PBC相似，且点P在x轴上，
∴点P在B点的左侧，
当△CBP∽△ACD时，

BP

BC

=

CA

CD

，即

BP

3 2

=

2

3

，解得：BP=2；
当△BPC∽△CAD时，

BP

BC

=

CD

CA

，即

BP

3 2

=

3

2

，解得：BP=9，
∴BP=2或9，
∴点P坐标为（1，0）或（-6，0）；

（3）过点D作DH⊥BC并延长DH到点M，使HM=HD，连接CM、BM，
∴直线BM即为直线l，且CM=CD，∠MCH=∠DCH，
∵C（0，-3），D（0，-6），
∴CM=CD=3，
∵B（3，0），C（0，-3），
∴∠OCB=45°，
∴∠DCH=∠OCB=45°，
∴∠MCH=45°，
∴∠MCD=90°，即MC⊥y轴，
∵MC=CD=3，
∴M（-3，-3），
设直线l的解析式为y=kx+b，则

-3=-3k+b 0=3k+b

，
解得：

k= 1 2 b=- 3 2

，
∴直线l的解析式为y=

1

2

x-

3

2

．

点评：此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，坐标与图形性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．