Question

4．如图，已知直线AB与x轴交于点C，与双曲线y=$\frac{k}{x}$交于A（3，$\frac{20}{3}$）、B（-5，a）两点．AD⊥x轴于点D，BE∥x轴且与y轴交于点E．
（1）求点B的坐标及直线AB的解析式；
（2）判断四边形CBED的形状，并说明理由；
（3）根据图象，直接写出当直线AB的函数值不大于双曲线的函数值时，自变量x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据反比例函数图象上点的坐标特征，将点A代入双曲线方程求得k值，即利用待定系数法求得双曲线方程；然后将B点代入其中，从而求得a值；设直线AB的解析式为y=mx+n，将A、B两点的坐标代入，利用待定系数法解答；
（2）由点C、D的坐标、已知条件“BE∥x轴”及两点间的距离公式求得，CD=5，BE=5，且BE∥CD，从而可以证明四边形CBED是平行四边形；然后在Rt△OED中根据勾股定理求得ED=5，所以ED=CD，从而证明四边形CBED是菱形；
（3）利用函数图象得出一次函数大于反比例函数时x的取值范围．

解答 解：（1）∵双曲线y=$\frac{k}{x}$交于A（3，$\frac{20}{3}$），
∴k=20．
把B（-5，a）代入y=$\frac{20}{x}$，得a=-4．
∴点B的坐标是（-5，-4），
设直线AB的解析式为y=mx+n，
将A（3，$\frac{20}{3}$）、B（-5，-4）代入，得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{20}{3}=3m+n}\\{-4=-5m+n}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{4}{3}}\\{n=\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为：y=$\frac{4}{3}$x+$\frac{8}{3}$；
（2）四边形CBED是菱形．理由如下：
∵直线AB的解析式为：y=$\frac{4}{3}$x+$\frac{8}{3}$，
∴当y=0时，x=-2，
∴点C的坐标是（-2，0）；
∵点D在x轴上，AD⊥x轴，A（3，$\frac{20}{3}$），
∴点D的坐标是（3，0），
∵BE∥x轴，
∴点E的坐标是（0，-4）．
而CD=5，BE=5，且BE∥CD．
∴四边形CBED是平行四边形．
在Rt△OED中，ED²=OE²+OD²，
∴ED=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴ED=CD．
∴平行四边形CBED是菱形；
（3）利用图象可得：当直线AB的函数值不大于双曲线的函数值时，自变量x的取值范围为x≤-5或0＜x≤3．

点评 此题主要考查了待定系数法求一次函数与反比例的解析式以及菱形的判定与性质等知识，利用数形结合比较得出函数值大小以及结合菱形判定得出是解题关键．