Question

如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠DAB=45°，AD∥BC，DC∥AB．
（1）判断直线DC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．

Answer 1

考点：切线的判定,扇形面积的计算

专题：

分析：（1）直线与圆的位置关系无非是相切或不相切，可连接OD，证OD是否与CD垂直即可．
（2）阴影部分的面积可由梯形OBCD和扇形OBD的面积差求得；扇形的半径和圆心角已求得，那么关键是求出梯形上底CD的长，可通过证四边形ABCD是平行四边形，得出CD=AB，由此可求出CD的长，即可得解．

解答：解：（1）直线CD与⊙O相切．理由如下：
如图，连接OD．
∵OA=OD，∠DAB=45°，
∴∠ODA=45°
∴∠AOD=90°
∵CD∥AB
∴∠ODC=∠AOD=90°，即OD⊥CD
又∵点D在⊙O上，
∴直线CD与⊙O相切；

（2）∵⊙O的半径为2，AB是⊙O的直径，
∴AB=4，
∵BC∥AD，CD∥AB
∴四边形ABCD是平行四边形
∴CD=AB=4
∴S_梯形OBCD=

(OB+CD)×OD

2

=

(2+4)×2

2

=6；
∴图中阴影部分的面积=S_梯形OBCD-S_扇形OBD=6-

1

4

×π×2²=6-π．

点评：此题主要考查了切线的判定、平行四边形的判定和性质以及扇形的面积计算方法．不规则图形的面积一定要注意分割成规则图形的面积进行计算．