Question

5．如图，平面直角坐标系中，四边形OABC是长方形，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上且A（10，0），C（0，6），点D在AB边上，将△CBD沿CD翻折，点B恰好落在OA边上点E处．
（1）求点E的坐标；
（2）求折痕CD所在直线的函数表达式；
（3）请你延长直线CD交x轴于点F．
①求△COF的面积；
②在x轴上是否存在点P，使S_△OCP=$\frac{1}{3}$S_△COF？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据折叠的性质知CE=CB=10．在在直角△COE中，由勾股定理求得OE=8；
（2）根据OC=6知C（0，6），由折叠的性质与勾股定理，求得D（10，$\frac{8}{3}$），利用待定系数法求CD所在直线的解析式；
（3）①根据F（18，0），即可求得△COF的面积；②设P（x，0），依S_△OCP=$\frac{1}{3}$S_△CDE得$\frac{1}{2}$×OP×OC=$\frac{1}{3}$×54，即$\frac{1}{2}$×|x|×6=18，求得x的值，即可得出点P的坐标．

解答 解：（1）如图，∵四边形ABCD是长方形，
∴BC=OA=10，∠COA=90°，
由折叠的性质知，CE=CB=10，
∵OC=6，
∴在直角△COE中，由勾股定理得OE=$\sqrt{C{E}^{2}-O{C}^{2}}$=8，
∴E（8，0）；

（2）设CD所在直线的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵C（0，6），
∴b=6，
设BD=DE=x，
∴AD=6-x，AE=OA-OE=2，
由勾股定理得AD²+AE²=DE²
即（6-x）²+2²=x²，
解得x=$\frac{10}{3}$，
∴AD=6-$\frac{10}{3}$=$\frac{8}{3}$，
∴D（10，$\frac{8}{3}$），
代入y=kx+6 得，k=-$\frac{1}{3}$，
故CD所在直线的解析式为：y=-$\frac{1}{3}$x+6；

（3）①在y=-$\frac{1}{3}$x+6中，令y=0，则x=18，
∴F（18，0），
∴△COF的面积=$\frac{1}{2}$×OF×OC=$\frac{1}{2}$×18×6=54；
②在x轴上存在点P，使得S_△OCP=$\frac{1}{3}$S_△COF，
设P（x，0），依题意得
$\frac{1}{2}$×OP×OC=$\frac{1}{3}$×54，即$\frac{1}{2}$×|x|×6=18，
解得x=±6，
∴在x轴上存在点P，使得S_△OCP=$\frac{1}{3}$S_△COF，点P的坐标为（6，0）或（-6，0）．

点评 本题属于四边形综合题，主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理以及待定系数法求一次函数的解析式的综合应用．解答此题时注意坐标与图形的性质的运用以及方程思想的运用．