Question

如图，在边长为2的正方形ABCD中，P为AB的中点，Q为边CD上一动点，设DQ=t（0≤t≤2），线段PQ的垂直平分线分别交边AD、BC于点M、N，过Q作QE⊥AB于点E，过M作MF⊥BC于点F．
（1）当t≠1时，求证：△PEQ≌△NFM；
（2）顺次连接P、M、Q、N，设四边形PMQN的面积为S，求出S与自变量t之间的函数关系式，并求S的最小值．

Answer 1

分析：（1）由四边形ABCD是正方形得到∠A=∠B=∠D=90°，AD=AB，又由∠EQP=∠FMN，而证得；
（2）分为两种情况：①当E在AP上时，由点P是边AB的中点，AB=2，DQ=AE=t，又由勾股定理求得PQ，由△PEQ≌△NFM得到PQ的值，又PQ⊥MN求得面积S，由t范围得到S的最小值；②当E在BP上时，同法可求S的最小值．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠D=90°，AD=AB，
∵QE⊥AB，MF⊥BC，
∴∠AEQ=∠MFB=90°，
∴四边形ABFM、AEQD都是矩形，
∴MF=AB，QE=AD，MF⊥QE，
又∵PQ⊥MN，
∴∠1+∠EQP=90°，∠2+∠FMN=90°，
∵∠1=∠2，
∴∠EQP=∠FMN，
又∵∠QEP=∠MFN=90°，
∴△PEQ≌△NFM；

（2）解：分为两种情况：①当E在AP上时，
∵点P是边AB的中点，AB=2，DQ=AE=t，
∴PA=1，PE=1-t，QE=2，
由勾股定理，得PQ=

QE2+PE2

=

(1-t)2+4

，
∵△PEQ≌△NFM，
∴MN=PQ=

(1-t)2+4

，
又∵PQ⊥MN，
∴S=

1

2

PQ•MN=

1

2

[(1-t)2+4]=

1

2

t²-t+

5

2

，
∵0≤t≤2，
∴当t=1时，S_最小值=2．
②当E在BP上时，
∵点P是边AB的中点，AB=2，DQ=AE=t，
∴PA=1，PE=t-1，QE=2，
由勾股定理，得PQ=

QE2+PE2

=

(t-1)2+4

，
∵△PEQ≌△NFM，
∴MN=PQ=

(t-1)2+4

，
又∵PQ⊥MN，
∴S=

1

2

PQ•MN=

1

2

[（t-1）²+4]=

1

2

t²-t+

5

2

，
∵0≤t≤2，
∴当t=1时，S_最小值=2．
综上：S=

1

2

t²-t+

5

2

，S的最小值为2．

点评：本题考查了正方形的性质，（1）由四边形ABCD是正方形得到∠A=∠B=∠D=90°，AD=AB，又由∠EQP=∠FMN，而证得；（2）由勾股定理求得PQ，由△PEQ≌△NFM得到PQ的值，又PQ⊥MN求得面积S，由t范围得到答案．