Question

4．以x为自变量的二次函数y=-x²+（m+1）x+3m与y轴相交于点P（0，3）、与x轴相交于点A和点B（其中点A在点B的左边）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求△ABP的面积；
（3）一次函数y=kx+b的图象经过点A，与二次函数的图象相交于点C，且△ABC的面积为24，求一次函数的解析式．

Answer 1

分析 （1）把（0，3）代入函数解析式即可求得m的值，则函数的解析式即可求得；
（2）首先求得A和B的坐标，则AB即可求得没然后利用三角形面积公式即可求解；
（3）根据三角形面积公式求得C的纵坐标，代入二次函数解析式求得C的坐标，然后利用待定系数法求得一次函数的解析式．

解答 解：（1）把（0，3）代入y=-x²+（m+1）x+3m得3m=3，解得：m=1，
则二次函数的解析式是y=-x²+2x+3；
（2）在y=-x²+2x+3中令y=0，得-x²+2x+3=0，解得：x=-1或3，
则A的坐标是（-1，0），B的坐标是（3，0）．
则AB=3-（-1）=4，
则S_△ABP=$\frac{1}{2}$×4×3=6；
（3）设C的纵坐标是m，
∵△ABC的面积是24，
∴$\frac{1}{2}$×4|m|=24，
解得|m|=12，
则m=12或-12，
当m=12时，把y=12代入y=-x²+2x+3，得-x²+2x+3=12，即x²-2x+9=0，
△=4-36=-32＜0，方程无解；
当m=-12时，把y=-12代入y=-x²+2x+3，得-x²+2x+3=-12，即x²-2x-15=0，
解得：x=-3或5．
则C的坐标是（-3，-12）或（5，-12）．
当C的坐标是（-3，-12）时，根据题意得$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{-3k+b=-12}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=6}\\{b=6}\end{array}\right.$，
则一次函数的解析式是y=6x+6；
当C的坐标是（5，-12）时，根据题意得$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{5k+b=-12}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
则函数的解析式是y=-2x-2．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式以及二次函数与x轴的交点的求法，正确求得C的坐标是关键．