Question

3．如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC+∠EAD=180°，△ABC不动，△ADE绕点A旋转，连结BE，CD，F为BE的中点，连结AF，求证：CD=2AF．

Answer 1

分析 延长EA交BC于G，在AG上截取AH=AD，证出△ABH≌△ACD从而证得BH=CD，然后根据三角形的中位线等于底边的一半，求得BH=2AF，即可求得．

解答 证明：延长EA交BC于G，在AG上截取AH=AD，
∵∠BAC+∠EAD=180°，
∴∠EAB+∠DAC=180°，
∵∠EAB+∠BAH=180°，
∴∠DAC=∠BAH，
在△ABH与△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AH=AD}\\{∠BAH=∠CAD}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABH≌△ACD（SAS），
∴BH=DC，
∵AD=AE，AH=AD，
∴AE=AH，
∵EF=FB，
∴BH=2AF，
∴CD=2AF．

点评 本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形中位线的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．