Question

2．已知：关于x的二次函数y=x²+bx+c经过点（-1，0）和（2，6）．
（1）求b和c的值．
（2）若点A（n，y₁），B（n+1，y₂），C（n+2，y₃）都在这个二次函数的图象上，问是否存在整数n，使$\frac{1}{{y}_{1}}$+$\frac{1}{{y}_{2}}$+$\frac{1}{{y}_{3}}$=$\frac{3}{10}$？若存在，请求出n；若不存在，请说明理由．
（3）若点P是二次函数图象在y轴左侧部分上的一个动点，将直线y=-2x沿y轴向下平移，分别交x轴、y轴于C、D两点，若以CD为直角边的△PCD与△OCD相似，请求出所有符合条件点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）求出y₁，y₂，y₃代入解方程即可解决问题，注意运算技巧．
（3）当D为直角顶点时，由图象可知不存在点P，使得△PCD为直角三角形，当C为直角顶点，CD为直角边时，作PE⊥OC于E．分两种情形①CD=2PC，②PC=2CD，
设直线y=-2x向下平移m个单位，则直线CD解析式为y=-2x-m，求出点P坐标（用m表示），代入抛物线解析式即可解决问题．

解答 解：（1）把（-1，0）和（2，6）代入y=x²+bx+c中，
得$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{4+2b+c=6}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{c=0}\end{array}\right.$，
∴b=1，c=0．
（2）由题意y₁=n²+n，y₂=（n+1）²+（n+1），y₃=（n+2）²+（n+2），
∵$\frac{1}{{y}_{1}}$+$\frac{1}{{y}_{2}}$+$\frac{1}{{y}_{3}}$=$\frac{3}{10}$，
∴$\frac{1}{n（n+1）}$+$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$+$\frac{1}{（n+2）（n+3）}$=$\frac{3}{10}$，
∴$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$+$\frac{1}{n+2}$-$\frac{1}{n+3}$=$\frac{3}{10}$，
∴$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+3}$=$\frac{3}{10}$，
整理得n²+3n-10=0，
解得n=2或-5．
经过检验n=2和-5是分式方程的解．
（3）当D为直角顶点时，由图象可知不存在点P，使得△PCD为直角三角形，当C为直角顶点，CD为直角边时，作PE⊥OC于E．

设直线y=-2x向下平移m个单位，则直线CD解析式为y=-2x-m，
∴点D坐标（0，-m），点C坐标（-$\frac{m}{2}$，0），
∴OD=m，OC=$\frac{m}{2}$，
∴OD=20C，
∵△PCD与△OCD相似，
∴CD=2PC或PC=2CD，
①当CD=2PC时，
∵∠PCD=90°，
∴∠PCE+∠DCO=90°，∠DCO+∠CDO=90°，
∴∠PCE=∠CDO，
∵∠PEC=∠COD=90°，
∴△COD∽△PEC，
∴$\frac{CD}{PC}$=$\frac{OD}{EC}$=$\frac{CO}{PE}$=2，
∴EC=$\frac{m}{2}$，PE=$\frac{m}{4}$，
∴点P坐标（-m，-$\frac{m}{4}$），代入y=x²+x，
得-$\frac{m}{4}$=m²-m，解得m=$\frac{3}{4}$或（0舍弃）
∴点P坐标（-$\frac{3}{4}$，-$\frac{3}{16}$）．
②PC=2CD时，由$\frac{CD}{PC}$=$\frac{OD}{EC}$=$\frac{CO}{PE}$=$\frac{1}{2}$，
∴EC=2m，PE=m，
∴点P坐标（-$\frac{5}{2}$m，-m），代入y=x²+x，
得-m=$\frac{25}{4}$m²-$\frac{5}{2}$m，
解得m=$\frac{6}{25}$和（0舍弃），
∴点P坐标（-$\frac{3}{5}$，-$\frac{6}{25}$）．

点评 本题考查二次函数综合题、分式方程、相似三角形的判定和性质、一次函数等知识，解题的关键是灵活掌握待定系数法，学会用参数解决问题，学会分类讨论，不能漏解，属于中考压轴题．