Question

18．如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）图象上一点，AB⊥x轴于B点，一次函数y=ax+b（a≠0）的图象交y轴于D（0，-2），交x轴于C点，并与反比例函数的图象交于A，E两点，连接OA，若△AOD的面积为4，且点C为OB中点．
（1）分别求双曲线及直线AE的解析式；
（2）若点Q在双曲线上，且S_△QAB=4S_△BAC，求点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）先根据点D的坐标和△AOD的面积，求得点C的坐标，再结合点C为OB中点，求得点A的坐标，最后运用待定系数法求得反比例函数和一次函数的解析式；
（2）先设Q的坐标为（t，$\frac{8}{t}$），根据条件S_△QAB=4S_△BAC求得t的值，进而得到点Q的坐标．

解答 解：（1）∵D（0，-2），△AOD的面积为4，
∴$\frac{1}{2}$•2•OB=4，
∴OB=4，
∵C为OB的中点，
∴OC=BC=2，C（2，0）
又∵∠COD=90°
∴△OCD为等腰直角三角形，
∴∠OCD=∠ACB=45°，
又∵AB⊥x轴于B点，
∴△ACB为等腰直角三角形，
∴AB=BC=2，
∴A点坐标为（4，2），
把A（4，2）代入y=$\frac{k}{x}$，得k=4×2=8，
即反比例函数解析式为y=$\frac{8}{x}$，
将C（2，0）和D（0，-2）代入一次函数y=ax+b，可得
$\left\{\begin{array}{l}{0=2a+b}\\{-2=b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴直线AE解析式为：y=x-2；

（2）设Q的坐标为（t，$\frac{8}{t}$），
∵S_△BAC=$\frac{1}{2}$×2×2=2，
∴S_△QAB=4S_△BAC=8，
即$\frac{1}{2}$•2•|t-4|=8，
解得t=12或-4，
在y=$\frac{8}{x}$中，当x=12时，y=$\frac{2}{3}$；当x=-4时，y=-2，
∴Q点的坐标为（12，$\frac{2}{3}$）或（-4，-2）．

点评 本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，需要掌握根据待定系数法求函数解析式的方法．解答此类试题的依据是：①求一次函数解析式需要知道直线上两点的坐标；②根据三角形的面积及一边的长，可以求得该边上的高．