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(2008•济南)已知:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0),顶点C(1,-3),与x轴交于A,B两点,A(-1,0).
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)如图,以AB为直径作圆,与抛物线交于点D,与抛物线对称轴交于点E,依次连接A,D,B,E,点P为线段AB上一个动点(P与A,B两点不重合),过点P作PM⊥AE于M,PN⊥DB于N,请判断是否为定值?若是,请求出此定值;若不是,请说明理由;
(3)在(2)的条件下,若点S是线段EP上一点,过点S作FG⊥EP,FG分别与边AE,BE相交于点F,G(F与A,E不重合,G与E,B不重合),请判断是否成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.

【答案】分析:(1)已知抛物线的顶点坐标就可以利用顶点式求函数的解析式.
(2)AB是圆的直径,因而∠ADB=∠AEB=90°,得到PN∥AD,得到=,同理=,这样就可以求出的值.
(3)易证△AEB为等腰直角三角形,过点P作PH⊥BE与H,四边形PHEM是矩形,易证△APM∽△PBH,则,再证明△MEP∽△EGF,则因而可证.
解答:解:(1)设抛物线的解析式为y=a(x-1)2-3(1分)
将A(-1,0)代入:0=a(-1-1)2-3,
解得a=(2分)
所以,抛物线的解析式为y=(x-1)2-3,即y=x2-x-(3分)

(2)是定值,=1(4分)
∵AB为直径,
∴∠AEB=90°,
∵PM⊥AE,
∴PM∥BE,
∴△APM∽△ABE,
所以
同理:②(5分)
①+②:(6分)

(3)∵直线EC为抛物线对称轴,
∴EC垂直平分AB,
∴EA=EB,
∵∠AEB=90°,
∴△AEB为等腰直角三角形,
∴∠EAB=∠EBA=45°(7分)
如图,过点P作PH⊥BE于H,
由已知及作法可知,四边形PHEM是矩形.
∴PH=ME且PH∥ME.
在△APM和△PBH中,
∵∠AMP=∠PHB=90°,∠EAB=∠BPH=45°,
∴PH=BH,且△APM∽△PBH,

①(8分)
在△MEP和△EGF中,
∵PE⊥FG,
∴∠FGE+∠SEG=90°,
∵∠MEP+∠SEG=90°,
∴∠FGE=∠MEP,
∵∠PME=∠FEG=90°,
∴△MEP∽△EGF,

由①、②知:(9分)(本题若按分类证明,只要合理,可给满分)
点评:本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式,以及相似三角形的对应边的比相等.
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