Question

8．如图，某水库上游有一单孔抛物线型拱桥，它的跨度AB为100米．最低水位（与AB在同一平面）时桥面CD距离水面25米，桥拱两端有两根25米高的水泥柱BC和AD，中间等距离竖立9根钢柱支撑桥面，拱顶正上方的钢柱EF长5米．
（1）建立适当的直角坐标系，求抛物线型桥拱的解析式；
（2）在最低水位时，能并排通过两艘宽28米，高16米的游轮吗？（假设两游轮之间的安全间距为4米）
（3）由于下游水库蓄水及雨季影响导致水位上涨，水位最高时比最低水位高出13米，请问最高水位时没在水面以下的钢柱总长为多少米？

Answer 1

分析 （1）如图，以AB为x轴，AB的中点为原点建立直角坐标系．则A、B、F的坐标分别是（-50，0），（50，0），（0，20）．设抛物线的解析式为y=ax²+20，将B的坐标代入求出a即可．
（2）求出x=30时的函数值，即可判断．函数值大于等于16可以通过，函数值小于16不能通过．
（3）求出x=±30，±20，±40的函数值，即可判断．

解答 解：（1）如图，以AB为x轴，AB的中点为原点建立直角坐标系．

则A、B、F的坐标分别是（-50，0），（50，0），（0，20）．
设抛物线的解析式为y=ax²+20，
将B的坐标代入得：a=-$\frac{1}{125}$，
∴抛物线的表达式是y=-$\frac{1}{125}$x²+20，

（2）把x=28+2=30代入解析式，y=-$\frac{1}{125}$x²+20=-$\frac{1}{125}$×30²+20=12.8，
∵12.8＜16∴不能并列通过两艘游轮．

（3）由（2）得，当x=±30时，y=12.8，
又∵当x=±20时，y=-$\frac{1}{125}$×20²+20=16.8＞13，
∴水面只能没过最左边和最右边各两根钢柱．
∵当x=±40时，y=-$\frac{1}{125}$×40²=20=7.2，
∴没在水面下的立柱总长为2（13-7.2）+13-12.8）=12米．

点评 本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，由自变量的值求函数值的运用，解答时求出函数的解析式是关键．