Question

△ABC和△DBE是绕点B旋转的两个相似三角形，其中∠ABC与∠DBE、∠A与∠D为对应角．
（1）如图1，若△ABC和△DBE分别是以∠ABC与∠DBE为顶角的等腰直角三角形，且两三角形旋转到使点B、C、D在同一条直线上的位置时，请直接写出线段AD与线段EC的关系；
（2）若△ABC和△DBE为含有30°角的直角三角形，且两个三角形旋转到如图2的位置时，试确定线段AD与线段EC的关系，并说明理由；
（3）若△ABC和△DBE为如图3的两个三角形，且∠ACB=α，∠BDE=β，在绕点B旋转的过程中，直线AD与EC夹角的度数是否改变？若不改变，直接用含α、β的式子表示夹角的度数；若改变，请说明理由．

Answer 1

解：（1）线段AD与线段CE的关系是AD⊥EC，AD=EC；
理由：连接AD、CE；
∵△ABC、△BED都是等腰直角三角形，
∴AB=BC，BD=BE，∠ABC=∠EBD=90°，
∴△ABD≌△CBE，
∴AD=CE，∠DAB=∠BCE；
∵∠BEC+∠BCE=90°，
∴∠BEC+∠DAE=90°，即AD⊥CE；
故线段AD与线段EC的关系是AD⊥EC，AD=EC．

（2）如图2，连接AD、EC并延长，设交点为点F；
∵△ABC∽△DBE，
∴，
∴．
∵∠ABC=∠DBE=90°，
∴∠1+∠3=90°，∠2+∠3=90°
∴∠1=∠2
∴△ABD∽△CBE．
∴．
在Rt△ACB中，，∵，
∴．
又∵∠DBE=90°，∠DEB=30°，
∴∠4=60°，
∴∠5+∠6=120°．
∵△ABD∽△CBE，
∴∠5=∠CEB=30°+∠7，
∴∠7=∠5-30°，∠6=120°-∠5，
∴∠7+∠6=90°，
∴∠DFE=90°
即AD⊥CE．

（3）在绕点B旋转的过程中，直线AD与EC夹角的度数不改变，且∠AFE=（180-α-β）度．
分析：（1）连接AD、CE，然后证得△ABD≌△BCE，根据所得的等角和等边来判断AD、EC的关系．
（2）连接AD、EC并延长，设交点为点F，根据已知条件，易证得△ABD∽△CBE，得AB：BC=BD：BE，而∠1、∠2同为∠3的余角，则可证得△ABD=△CBE，得∠5=∠7+30°，而∠6=120°-∠5，由此可证得∠7+∠6=90°，即AD⊥CE．
（3）根据上面的求解过程可知：在绕点B旋转的过程中，直线AD与EC夹角的度数不改变，解题思路和方法同（2）．
点评：本题考查了图形的旋转变化以及相似三角形的判定和性质，理清图中角与角之间的关系，是解答此题的关键．