Question

如图①所示，将一个正三角形纸片沿着它的一条边上的高剪开，得到如图②所示的两个全等的Rt△ABC、Rt△DEF．

（1）根据正三角形的性质可知：在图②中，∠ABC=∠DEF=30°，AB=DE=2AC=2DF．由此请你归纳一下在含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边之间的关系：
在含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边________；
（2）将这两个直角三角形纸片按如图③放置，使点B、D重合，点F在BC上．固定纸片DEF，将△ABC绕点F逆时针旋转角α（0°＜α＜90°），使四边形ACDE为以ED为底的梯形（如图④所示），求此时α的值；
（3）猜想图④中AE与CD之间的大小关系，并说明理由．

Answer 1

解：（1）FD=AC=AB=DE．
故答案为：等于斜边的一半．

（2）解：设DE交BC于点I
∵AC∥DE，
∴∠CIE=∠ACB=90°，
∵∠FDE=60°，
∴α=30°．
答：α=30°．

（3）AE=CD，
理由是：
在图④中，设DE交BC于点I，作AH垂直于ED，设FD=2x，
则由（1）得ED=4x，ID=x，
∵梯形ACDE，AC∥DE，
∵∠ACB=90°，
∴∠CID=90°，
又因为AC=FD=2x，
所以HI=AC=2x，
EH=4x-2x-x=x，
∵AC∥DE，
∴AH=CI，
∵∠AHE=∠CBD=90°，
∴△AHE≌△CID，
∴AE=CD．
分析：（1）由等边三角形的性质即可得到答案；
（2）设DE交BC于点I，由∠CBD和∠FDB的度数即可求出a的度数；
（3）设DE交BC于点I，作AH垂直于ED，设FD=2x，推出HI=2x，EH=ID=x，再证△AHE和△CID全等，即可得到答案．
点评：本题主要考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识点，熟练地运用性质进行证明是解此题的关键．题型较好，综合性强．