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如图①所示,将一个正三角形纸片沿着它的一条边上的高剪开,得到如图②所示的两个全等的Rt△ABC、Rt△DEF.

(1)根据正三角形的性质可知:在图②中,∠ABC=∠DEF=30°,AB=DE=2AC=2DF.由此请你归纳一下在含30°角的直角三角形中,30°角所对的直角边与斜边之间的关系:
在含30°角的直角三角形中,30°角所对的直角边________;
(2)将这两个直角三角形纸片按如图③放置,使点B、D重合,点F在BC上.固定纸片DEF,将△ABC绕点F逆时针旋转角α(0°<α<90°),使四边形ACDE为以ED为底的梯形(如图④所示),求此时α的值;
(3)猜想图④中AE与CD之间的大小关系,并说明理由.

解:(1)FD=AC=AB=DE.
故答案为:等于斜边的一半.

(2)解:设DE交BC于点I
∵AC∥DE,
∴∠CIE=∠ACB=90°,
∵∠FDE=60°,
∴α=30°.
答:α=30°.

(3)AE=CD,
理由是:
在图④中,设DE交BC于点I,作AH垂直于ED,设FD=2x,
则由(1)得ED=4x,ID=x,
∵梯形ACDE,AC∥DE,
∵∠ACB=90°,
∴∠CID=90°,
又因为AC=FD=2x,
所以HI=AC=2x,
EH=4x-2x-x=x,
∵AC∥DE,
∴AH=CI,
∵∠AHE=∠CBD=90°,
∴△AHE≌△CID,
∴AE=CD.
分析:(1)由等边三角形的性质即可得到答案;
(2)设DE交BC于点I,由∠CBD和∠FDB的度数即可求出a的度数;
(3)设DE交BC于点I,作AH垂直于ED,设FD=2x,推出HI=2x,EH=ID=x,再证△AHE和△CID全等,即可得到答案.
点评:本题主要考查了线段垂直平分线的性质,全等三角形的性质和判定,等边三角形的性质,含30°角的直角三角形的性质等知识点,熟练地运用性质进行证明是解此题的关键.题型较好,综合性强.
练习册系列答案
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已知:等腰Rt△ABC中,∠A=90°,
(1)如图1,E为AB上任意一点,以CE为斜边作等腰Rt△CDE,连接AD,则有AD∥BC;
(2)若将等腰Rt△ABC改为正△ABC,如图2所示,E为AB边上任一点,△CDE为正三角形,连接AD,上述结论还成立吗?答
 

(3)若△ABC为任意等腰三角形,AB=AC,如图3,E为AB上任一点,△DEC∽△ABC,连接AD,请问AD与BC的位置关系怎样?精英家教网答:
 

请你在上述3个结论中,任选一个结论进行证明.

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(2)从正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形、正十边形、正十二边形中任选两种正多边形镶嵌,请全部写出这两种正多边形.并从其中任选一种探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形?说明你的理由.
(3)如图2所示,已知AB∥CD,分别探索下列四个图形中∠P(均为小于平角的角)与∠A,∠C的关系,请你从所得的四个关系中任选一个加以说明.
(4)阅读材料:多边形上或内部的一点与多边形各顶点的连线,将多边形分割成若干个小三角形.如图3给出了四边形的具体分割方法,分别将四边形分割成了2个、3个、4个小三角形.
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已知:等腰Rt△ABC中,∠A=90°,
(1)如图1,E为AB上任意一点,以CE为斜边作等腰Rt△CDE,连接AD,则有AD∥BC;
(2)若将等腰Rt△ABC改为正△ABC,如图2所示,E为AB边上任一点,△CDE为正三角形,连接AD,上述结论还成立吗?答______;
(3)若△ABC为任意等腰三角形,AB=AC,如图3,E为AB上任一点,△DEC∽△ABC,连接AD,请问AD与BC的位置关系怎样?答:______.
请你在上述3个结论中,任选一个结论进行证明.

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