Question

【题目】如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过原点，且与x轴相交于点A，点A的横坐标为6，抛物线顶点为点B．

（1）求这条抛物线的表达式和顶点B的坐标；

（2）过点O作OP∥AB，在直线OP上点取一点Q，使得∠QAB=∠OBA，求点Q的坐标；

（3）将该抛物线向左平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线与y轴负半轴相交于点C且顶点仍然在第四象限，此时点A移动到点D的位置，CB：DB=3：4，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）（x-3）2-4，顶点B的坐标是（3，-4）；（2）（3）

【解析】

（1）将点O，点A坐标代入解析式可求抛物线的表达式和顶点B的坐标；

（2）由点A，点B坐标可求直线AB解析式，即可求直线OP解析式为：y=x，设点Q（3k，4k），可证四边形OQAP为等腰梯形，可得OB=QA，由两点距离公式可求k的值，即可求点Q坐标；

（3）过点B分别做作x、y轴垂线，垂足分别为点E、F，由题意可证△BCF∽△BDE，可得，可得，可得，可得关于m的方程，即可求m的值．

（1）∵点O（0，0）、A（6，0）在抛物线上

∴，

解得

∴抛物线的解析式为=（x-3）2-4，

∴顶点B的坐标是（3，-4）

（2）如图，

∵A（6，0），B（3，-4）

∴直线AB解析式为：y=x-8

∵OP∥AB

∴直线OP解析式为：y=x

设点Q（3k，4k），

∵∠OBA=∠QAB＞∠OAB，

∴k＞0

∵OP平行于AB，QA不平行于OB

∴四边形OQAP为梯形

又∵∠QAB=∠OBA

∴四边形OQAP为等腰梯形

∴QA=OB

∴（6-3k）2+（4k）2=25

∴或k=-1（舍去）

∴

（3）由（1）知

设抛物线向左平移m（m＞0）个单位后的新抛物线表达式为

∵新抛物线与y轴负半轴相交于点C且顶点仍然在第四象限，设点C的坐标为C（0，c）

∴0＜m＜3，-4＜c＜0，

如图，过点B分别做作x、y轴垂线，垂足分别为点E、F

∴，且∠BFC=∠BED=90°

∴△BCF∽△BDE

∴

∴

∴

∴

又∵

∴

∴

∴或者m2=3（舍去）

∴