Question

9．如图，△ABC为等边三角形，D、E、F分别在边AC、AB、BC上，且AE=BF=CD，连接AF、BD、CE分别交于点G、H、M
（1）求∠1的度数；
（2）说明△GMH的形状．

Answer 1

分析 （1）根据已知，利用SAS可以判定△BCD≌△CAE≌△CBD，从而可得∠2=∠ACE=∠BAF，再利用∠1为△BHC的外角，即可解答；
（2）△GMH是等边三角形，利用外角的性质求∠1，∠MGH，∠GMH的度数，即可解答．

解答 解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠BCA=∠BAC=60°，AB=BC=CA，
在△BCD和△CAE和△ABF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=CA=AB}\\{∠BCA=∠CAB=∠ABC}\\{CD=AE=BF}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△CAE≌△CBD，
∴∠2=∠ACE=∠BAF，
∵∠1=∠2+∠BCH，
∴∠1=∠ACE+∠BCH=∠BCA=60°．
（2）∵△BCD≌△CAE≌△CBD，
∴∠2=∠ACE=∠BAF，
∵∠GMH=∠MAC+∠ACE，∠MGH=∠BAF+∠ABG，
∴∠GMH=∠MAC+∠BAF=∠BAC=60°，∠MGH=∠2+∠ABG=∠ABC=60°，
∴∠GMH=∠MGH=∠1=60°，
∴△GMH是等边三角形．

点评 本题考查了等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质；找到三个三角形全等的条件，证得三角形全等，利用全等的性质解题是正确解答本题的关键．