Question

12．已知：正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、DA上，且AE=BF=CG=DH，
（1）四边形EFGH是正方形吗？为什么？
（2）若正方形ABCD的边长为4cm，且AE=BF=CG=DH=1cm，请求出四边形EFGH的面积．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，证出AH=BE=CF=DG，由SAS证明△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，得出EH=FE=GF=GH，∠AEH=∠BFE，证出四边形EFGH是菱形，再证出∠HEF=90°，即可得出结论；
（2）根据勾股定理求得正方形的边长，然后即可求得面积．

解答 （1）四边形EFGH是正方形；
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，
∵AE=BF=CG=DH，
∴AH=BE=CF=DG，
在△AEH、△BFE、△CGF和△DHG中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=BF=CG=DH}\\{∠A=∠B=∠C=∠D}\\{AH=BE=CF=DG}\end{array}\right.$，
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），
∴EH=FE=GF=GH，∠AEH=∠BFE，
∴四边形EFGH是菱形，
∵∠BEF+∠BFE=90°，
∴∠BEF+∠AEH=90°，
∴∠HEF=90°，
∴四边形EFGH是正方形；

（2）∵正方形ABCD的边长为4cm，且AE=BF=CG=DH=1cm，
∴AE=BF=CG=DH=3，
∴正方形EFGH的面积=EH²=AH²+AE²=1²+3²=10．

点评 此题考查了正方形的判定与性质，解题的关键是了解正方形的判定方法及其性质，难度不大．