Question

【题目】如图已知抛物线与轴交于点C(0，4)，与轴交于A(，0)、B(，0)，其中，为方程的两个根．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连结CQ，设Q(，0)，△CQE的面积为，求关于的函数关系式及△CQE的面积的最大值；

（3）点M的坐标为(2，0)，问：在直线AC上，是否存在点F，使得△OMF是等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）， (其中：)，△CQE的面积的最大值为3；（3）存在，点F的坐标为(1，3)或(2，2)．

【解析】

（1）首先利用方程求出图象与x轴交点坐标，进而将C点坐标代入求出a的值即可；
（2）作EH⊥AB于点H，可得EH∥CO，根据QE∥AC，可得出比例关系，代入求出EH的长度，求出S△CQE，得出关系式，并求最大值；
（3）存在．利用待定系数法求出AC的解析式，设F（x，x＋4），表示出OM、MF、OF的长度，要使△OMF是等腰三角形有三种情况：①OF＝FM时，②OM＝OF＝2时，③OM＝MF时，分别求出点F的坐标．

解：（1）解方程，

得：，，

∴A(4，0)，B(－2，0)，

设抛物线解析式为：，

将C(0，4)代入，解得：，

∴抛物线解析式为：

即．

（2）由Q(，0)，可得：

BQ＝，AQ＝，

作EH⊥AB于点H，

∵EH∥CO，∴，

又∵QE∥AC，∴，

∴ ，即，

∴，

∵

，

即关于的函数关系式为：

，

(其中：)，

∴△CQE的面积的最大值为3；

（3）存在．

理由如下：

设AC的解析式为：，AC过A(4，0)和C(0，4)，

∴，解之得：，，

∴AC的解析式为：，

∵F在AC上，设F(，)，

∴，

，，

若△OMF是等腰三角形可能有三种情况：

①OF＝FM时，F的横坐标应为1，

∴F(1，3)；

②OF＝OM＝2时，，

化简得：，

∵，∴这种情况不存在；

③ OM＝MF＝2时，，

化简得：，

解得：，(舍去)，

∴F(2，2)，

综上所述，当△OMF是等腰三角形时，点F的坐标为(1，3)或(2，2)．