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问题背景
小明以一个等腰三角形ABC的两腰AB、AC为边,分别向两旁作等边三角形ABD和等边三角形ACE,以底边BC为边向上作等边三角形FBC(如图1),在顺次连接A、D、F、E四边形ADFE是一个特殊的四边形。
任务要求
(l)试判断四边形ADFE的形状,并证明;
(2)将△ABC的形状改为任意三角形(AB、BC、AC均不相等),在采用上述相同的作法后(如图2),判断四边形ADFE的形状,并证明
联系拓广
(3)在得出上述结论后,他进一步提出,当△ABC满足什么条件时,四边形ADFE是矩形?△ABC满足什么条件时,四边形ADFE是正方形?请你作出回答并说明理由.
解:(l)四边形ADFE是菱形.      
证明:∵△ABD是等边三角形,
∴BD =AB,∠DBA =60°,    
同理BC= BF,∠FBC= 60°.    
∴∠DBF= ∠ABC,
∴△DBF≌△ABC.        
∴DF=AC =AE,
同理可证△BCA≌△FCE,
∴EF =AB =AD.    又AB =AC,
∴DF =EF =AE =AD,∴四边形ADFE是菱形  
(2)四边形ADFE是平行四边形.        
证明:∵△ABD是等边三角形,
∴B =AB,∠DBA =60°,    
同理BC =BF,∠FBC =60°.    
∴∠DBF=∠ABC∴△DBF≌△ABC, ∴DF =AC= AE,    
同理可证△ECF≌△ACB∴EF =AB =AD.    
∴四边形ADFE是平行四边形.       
(3)当∠BAC= 150°时,四边形ADFE是矩形.       
理由:当四边形ADFE是矩形时,∠DAE =90°.    
∵∠DAB= ∠EAC= 60°.    ∴∠BAC =360°- 90°- 60°- 60°=150°.    
∴当△ABC满足∠BAC= 150°时,四边形ADFE是矩形.    
当∠BAC= 150°且AB =AC时,四边形ADFE是正方形    
理由:∵四边形ADFE是正方形,    
∴∠BAC= 150°,AD=AE,    结合上面的过程,易知AB =AC.    
∴当△ABC满足∠BAC= 150°且AB=AC时,四边形ADFE是正方形。  
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