Question

问题背景
小明以一个等腰三角形ABC的两腰AB、AC为边，分别向两旁作等边三角形ABD和等边三角形ACE，以底边BC为边向上作等边三角形FBC(如图1)，在顺次连接A、D、F、E四边形ADFE是一个特殊的四边形。
任务要求
(l)试判断四边形ADFE的形状，并证明；
(2)将△ABC的形状改为任意三角形（AB、BC、AC均不相等），在采用上述相同的作法后(如图2)，判断四边形ADFE的形状，并证明
联系拓广
(3)在得出上述结论后，他进一步提出，当△ABC满足什么条件时，四边形ADFE是矩形？△ABC满足什么条件时，四边形ADFE是正方形？请你作出回答并说明理由．

Answer 1

解：(l)四边形ADFE是菱形．      
证明：∵△ABD是等边三角形，
∴BD =AB，∠DBA =60°，    
同理BC= BF，∠FBC= 60°．    
∴∠DBF= ∠ABC，
∴△DBF≌△ABC．        
∴DF=AC =AE，
同理可证△BCA≌△FCE，
∴EF =AB =AD．    又AB =AC，
∴DF =EF =AE =AD，∴四边形ADFE是菱形  
(2)四边形ADFE是平行四边形．        
证明：∵△ABD是等边三角形，
∴B =AB，∠DBA =60°，    
同理BC =BF，∠FBC =60°．    
∴∠DBF=∠ABC∴△DBF≌△ABC, ∴DF =AC= AE,    
同理可证△ECF≌△ACB∴EF =AB =AD．    
∴四边形ADFE是平行四边形．       
(3)当∠BAC= 150°时，四边形ADFE是矩形．       
理由：当四边形ADFE是矩形时，∠DAE =90°．    
∵∠DAB= ∠EAC= 60°．    ∴∠BAC =360°- 90°- 60°- 60°=150°．    
∴当△ABC满足∠BAC= 150°时，四边形ADFE是矩形．    
当∠BAC= 150°且AB =AC时，四边形ADFE是正方形    
理由：∵四边形ADFE是正方形，    
∴∠BAC= 150°，AD=AE,    结合上面的过程，易知AB =AC．    
∴当△ABC满足∠BAC= 150°且AB=AC时，四边形ADFE是正方形。