分析 (1)首先求得直线与y轴的交点M的坐标,然后根据ON=OM+1求得点N的坐标;
(2)设A(x1,$\frac{1}{4}$x12),B(x2,$\frac{1}{4}$x22),A,B分别作x轴的垂线,垂足分别为D,E,利用△ADN∽△NEB列出比例式求得有关两点坐标的方程,利用根与系数的关系列式求解即可;求得直线AO的解析式,然后确定点C的位置,然后利用轴对称的性质确定三角形的面积的最小值即可.
解答 解:(1)M(0,2),N(3,0);
(2)设A(x1,$\frac{1}{4}$x12),B(x2,$\frac{1}{4}$x22),
过A,B分别作x轴的垂线,垂足分别为D,E,
则△ADN∽△NEB,
∴$\frac{AD}{NE}=\frac{DN}{EB}$,
∴$\frac{{\frac{1}{4}x}_{1}^{2}}{{x}_{2}-3}$=$\frac{3-{x}_{1}}{\frac{1}{4}{x}_{2}^{2}}$,
∴$\frac{1}{16}$(x1x2)2=-(3-x1)(3-x2),$\frac{1}{16}$(x1x2)2=-[9-3(x1+x2)+x1x2],
又∵由l:y=kx+2,抛物线y=$\frac{1}{4}$x2,得:$\frac{1}{4}$x2-kx-2=0,
∴x1+x2=4k,x1x2=-8,
∴$\frac{1}{16}$(-8)2=-[9-3×4k-8],
∴k=$\frac{5}{12}$;
设直线AO的解析式为y=mx,
∵过A(x1,$\frac{1}{4}$x12),
∴$\frac{1}{4}$x12=mx1,
∴m=$\frac{1}{4}$x1,
∴直线AO的解析式为y=$\frac{1}{4}$x1x,
∵BC∥y轴,直线BC的解析式为x=x2,
∴C(x2,$\frac{1}{4}$x1x2),
又∵由(1)知x1x2=-8,
∴C(x2,-2),
又∵x2>0,
∴C点一定在没有端点的射线y=-2(x>0)上运动,
∴由轴对称可知:△MNC的周长的最小值为3$\sqrt{5}$+$\sqrt{13}$.
点评 本题考查了二次函数的综合知识,题目中往往设出有关点的坐标,根据题意得到方程,从而求得点的坐标的方法在解决此类题目中应用十分的广泛,在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果.
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