Question

2．如图1，动直线l：y=kx+2交抛物线y=$\frac{1}{4}$x²于A、B两点（A在B的左边），交y轴于M点，N为x轴正半轴上一点，且ON=OM+1
（1）直接写出M、N两点的坐标
（2）如图1，连AN、BN，当∠ANB=90°时，求k的值；如图2，过B作y轴的平行线交直线OA于C，试探求△MNC的周长的最小值．

Answer 1

分析 （1）首先求得直线与y轴的交点M的坐标，然后根据ON=OM+1求得点N的坐标；
（2）设A（x₁，$\frac{1}{4}$x₁²），B（x₂，$\frac{1}{4}$x₂²），A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为D，E，利用△ADN∽△NEB列出比例式求得有关两点坐标的方程，利用根与系数的关系列式求解即可；求得直线AO的解析式，然后确定点C的位置，然后利用轴对称的性质确定三角形的面积的最小值即可．

解答 解：（1）M（0，2），N（3，0）；
（2）设A（x₁，$\frac{1}{4}$x₁²），B（x₂，$\frac{1}{4}$x₂²），
过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为D，E，
则△ADN∽△NEB，
∴$\frac{AD}{NE}=\frac{DN}{EB}$，
∴$\frac{{\frac{1}{4}x}_{1}^{2}}{{x}_{2}-3}$=$\frac{3-{x}_{1}}{\frac{1}{4}{x}_{2}^{2}}$，
∴$\frac{1}{16}$（x₁x₂）²=-（3-x₁）（3-x₂），$\frac{1}{16}$（x₁x₂）²=-[9-3（x₁+x₂）+x₁x₂]，
又∵由l：y=kx+2，抛物线y=$\frac{1}{4}$x²，得：$\frac{1}{4}$x²-kx-2=0，
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-8，
∴$\frac{1}{16}$（-8）²=-[9-3×4k-8]，
∴k=$\frac{5}{12}$；
设直线AO的解析式为y=mx，
∵过A（x₁，$\frac{1}{4}$x₁²），
∴$\frac{1}{4}$x₁²=mx₁，
∴m=$\frac{1}{4}$x₁，
∴直线AO的解析式为y=$\frac{1}{4}$x₁x，
∵BC∥y轴，直线BC的解析式为x=x₂，
∴C（x₂，$\frac{1}{4}$x₁x₂），
又∵由（1）知x₁x₂=-8，
∴C（x₂，-2），
又∵x₂＞0，
∴C点一定在没有端点的射线y=-2（x＞0）上运动，
∴由轴对称可知：△MNC的周长的最小值为3$\sqrt{5}$+$\sqrt{13}$．

点评 本题考查了二次函数的综合知识，题目中往往设出有关点的坐标，根据题意得到方程，从而求得点的坐标的方法在解决此类题目中应用十分的广泛，在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．