Question

如图，半圆O的直径为AB，D是半圆上的一个动点（不与A、B重合），连接BD并延长至C，使CD=BD，过点D作半圆O的切线交AC于E点．
（1）猜想DE与AC的位置关系，并说明理由；
（2）当AB=6，BD=2时，求DE的长．

Answer 1

解：（1）DE⊥AC，
理由：连接OD，
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE．
∵BD=CD，OA=OB，
∴DE⊥AC．

（2）连接AD，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ADB=90°又BD=DC=2．
∴AD是BC的垂直平分线．
∴AB=AC．
∴∠ABD=∠ACD．
又∵DE⊥AC，
∴∠CED=90°．
∴∠ADB=∠CED．
∴Rt△ABD∽Rt△DCE．
∴DE•AB=AD•DC．
在Rt△ABD中，
AB=6，BD=2，
∴AD==4．
∴DE==．
分析：（1）连接OD，由切线的性质知，OD⊥DE；△ABC中，O、D分别为AB、BC的中点，即OD是△ABC的中位线，因此OD∥AC，由此可得DE⊥AC；
（2）连接AD，由圆周角定理知AD⊥BC，即AD是BC的垂直平分线；因此△ABC是等腰三角形，∠B=∠C，易证得Rt△CED∽Rt△BDA，可得DE：CD=AD：AB；可在Rt△ABD中，用勾股定理求得AD的长，进而可根据上面的比例关系求出DE的长．
点评：本题考查的知识点有：切线的性质、三角形中位线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理等．