分析 (1)如图②中,作AM⊥BC于M,DF′⊥BC于F′,易证△DBF≌△FCE≌△EAD,设BC=3a,求出△BDF面积,△DEF面积即可解决问题.
(2)如图②中,作AM⊥BC于M,DN⊥BC于N.设BC=4a,求出△BDF面积,△DEF面积即可解决问题.
(3)如图②中,作AM⊥BC于M,DN⊥BC于N.设BC=na,求出△BDF面积,△DEF面积即可解决问题.
解答 解:(1)如图②中,作AM⊥BC于M,DF′⊥BC于F′,设BC=3a,
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC=AC,∠B=∠C=∠BAC=60°
∵$\frac{AD}{AB}$=$\frac{BF}{BC}$=$\frac{CE}{CA}$=$\frac{1}{3}$,
∴AD=BF=CE=a,BD=CF=AE=2a,
∴△DBF≌△FCE≌△EAD,
∴S△DBF=S△ECF=S△ADE,
在RT△BDF′中,∵∠DF′B=90°,∠B=60°,
∴BF′=$\frac{1}{2}$BD=a,DF=$\sqrt{3}$a,
∴BF=BF′=a,
∴F、F′共点.
∴S△DBF=$\frac{1}{2}$•a•$\sqrt{3}$a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a2,
∴S△DEF=S△ABC-3S△BDF=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$a2,
∴$\frac{{S}_{△EDF}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{\frac{3\sqrt{3}}{4}{a}^{2}}{\frac{9\sqrt{3}}{4}{a}^{2}}$=$\frac{1}{3}$.
(2)如图②中,作AM⊥BC于M,DN⊥BC于N.设BC=4a则BD=CF=AE=3a,AD=BF=CE=a,S△ABC=4$\sqrt{3}$a2,
∵DN∥AM,
∴$\frac{DN}{AM}$=$\frac{BD}{BA}$=$\frac{3}{4}$,
∴DN=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$a,
∴S△BDF=$\frac{1}{2}$•a•$\frac{3\sqrt{3}}{2}$a=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$a2
由(1)可知S△DEF=S△ABC-3S△BDF=$\frac{7\sqrt{3}}{4}$a2,
∴$\frac{{S}_{△EDF}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{7}{16}$.
(3)如图③中,设BC=na,则BD=CF=AE=n-1,AD=BF=CE=a,DN=$\frac{(n-1)a}{2}\sqrt{3}$,
∴S△BDF=$\frac{1}{2}$•a•$\frac{(n-1)a}{2}\sqrt{3}$=$\frac{(n-1){a}^{2}}{4}$$\sqrt{3}$,
∴S△DEF=$\frac{\sqrt{3}}{4}$n2a2-$\frac{3(n-1){a}^{2}}{4}$$\sqrt{3}$,
∴$\frac{{S}_{△EDF}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{{n}^{2}-3n+3}{{n}^{2}}$.
点评 本题考查等边三角形的性质、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、三角形面积等知识,解题的关键巧妙是设未知数,求出相应三角形面积,属于中考常考题型.
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