已知.如图(1).在平行四边形ABCD中.AB=12.BC=6.AD⊥BD.以D为斜边在平行四边形ABCD的内部作Rt△AED.∠EAD=30°.∠AED=90°．(1)求△AED的周长．(2)若Rt△AED以每秒2个单位长度的速度沿射线DC方向移动.当Rt△AED与△BDC没有重叠部分时停止运动．设运动的时间为t秒.Rt△AED与△BDC重叠部� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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5．已知，如图（1），在平行四边形ABCD中，AB=12，BC=6，AD⊥BD，以D为斜边在平行四边形ABCD的内部作Rt△AED，∠EAD=30°，∠AED=90°．
（1）求△AED的周长．
（2）若Rt△AED以每秒2个单位长度的速度沿射线DC方向移动，当Rt△AED与△BDC没有重叠部分时停止运动．设运动的时间为t秒，Rt△AED与△BDC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）如图（2），在（2）中，当Rt△AED停止移动后，将它绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜180°），在旋转过程中，B的对应点为B′，点E的对应点为E′，设直线B′E′与直线BE交于点P，与直线CB交于点Q，是否存在这样的α，使△BPQ为等腰三角形？若存在，求出α的度数；若不存在，请说明理由．

分析（1）在Rt△ADE中，解直角三角形即可；
（2）在△AED向右平移的过程中：
（I）当0≤t≤1.5时，如答图1所示，此时重叠部分为一个三角形；
（II）当1.5＜t≤4.5时，如答图2所示，此时重叠部分为一个四边形；
（III）当4.5＜t≤6时，如答图3所示，此时重叠部分为一个五边形．
（3）根据旋转和等腰三角形的性质进行探究，结论是：存在α（30°和75°），使△BPQ为等腰三角形．如答图4、答图5所示．

解答解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=6．
在Rt△ADE中，AD=6，∠EAD=30°，
∴AE=AD•cos30°=3$\sqrt{3}$DE=AD•sin30°=3$\sqrt{3}$，
∴△AED的周长为：6+3+3=9+3$\sqrt{3}$．

（2）在△AED向右平移的过程中：
（I）当0≤t≤1.5时，如答图1所示，此时重叠部分为△D₀NK．

∵DD₀=2t，∴ND₀=DD₀•sin30°=t，NK=ND₀÷tan30°=$\sqrt{3}$t，
∴S=S_△D0NK=$\frac{1}{2}$ND₀•NK=t•$\sqrt{3}$t=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²；
（II）当1.5＜t≤4.5时，如答图2所示，此时重叠部分为四边形D₀E₀KN．
∵AA₀=2t，∴A₀B=AB-AA₀=12-2t，
∴A₀N=$\frac{1}{2}$A₀B=6-t，NK=A₀N•tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（6-t）．
∴S=S_{四边形D0E0KN}=S_△A0D0E0-S_△A0NK=$\frac{1}{2}$×3×3$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$×（6-t）×$\frac{\sqrt{3}}{3}$（6-t）=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$t²+2$\sqrt{3}$t-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$；
（III）当4.5＜t≤6时，如答图3所示，此时重叠部分为五边形D₀IJKN．

∵AA₀=2t，∴A₀B=AB-AA₀=12-2t=D₀C，
∴A₀N=$\frac{1}{2}$A₀B=6-t，D₀N=6-（6-t）=t，BN=A₀B•cos30°=$\sqrt{3}$（6-t）；
易知CI=BJ=A₀B=D₀C=12-2t，
∴BI=BC-CI=2t-6，
S=S_梯形BND0I-S_△BKJ=$\frac{1}{2}$[t+（2t-6）]•$\sqrt{3}$（6-t）-$\frac{1}{2}$•（12-2t）•$\frac{\sqrt{3}}{3}$（12-2t）=-$\frac{13\sqrt{3}}{6}$t²+20$\sqrt{3}$t-42$\sqrt{3}$．
综上所述，S与t之间的函数关系式为：
S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{2}{t}^{2}（0≤t≤1.5）}\\{-\frac{\sqrt{3}}{6}{t}^{2}+2\sqrt{3}t-\frac{3\sqrt{3}}{2}（1.5＜t≤4.5）}\\{-\frac{13\sqrt{3}}{6}{t}^{2}+20\sqrt{3}t-42\sqrt{3}（4.5＜t≤6）}\end{array}\right.$；

（3）存在α，使△BPQ为等腰三角形．
理由如下：经探究，得△BPQ∽△B₁QC，
故当△BPQ为等腰三角形时，△B₁QC也为等腰三角形．
（I）当QB=QP时（如答图4），

则QB₁=QC，∴∠B₁CQ=∠B₁=30°，
即∠BCB₁=30°，
∴α=30°；
（II）当BQ=BP时，则B₁Q=B₁C，
若点Q在线段B₁E₁的延长线上时（如答图5），

∵∠B₁=30°，∴∠B₁CQ=∠B₁QC=75°，
即∠BCB₁=75°，
∴α=75°；
若点Q在线段E₁B₁的延长线上时（如答图6），

∵∠B₁=30°，∴∠B₁CQ=∠B₁QC=15°，
即∠BCB₁=180°-∠B₁CQ=180°-15°=165°，
∴α=165°．
综上所述，存在α=30°，75°或165°，使△BPQ为等腰三角形．

点评本题考查了运动型与几何变换综合题，难度较大．难点在于：其一，第（2）问的运动型问题中，分析三角形的运动过程，明确不同时段的重叠图形形状，是解题难点；其二，第（3）问的存在型问题中，探究出符合题意的旋转角，并且做到不重不漏，是解题难点；其三，本题第（2）问中，计算量很大，容易失分．

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记函数$y=x+\frac{a}{x}（a＞0，x＞0）$，由上述结论可知：当$x=\sqrt{a}$时，该函数有最小值为$2\sqrt{a}$．
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（2）已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分：一是固定费用，共360元；二是燃油费，每千米为1.6元；三是折旧费，它与路程的平方成正比，比例系数为0.001．设该汽车一次运输的路程为x千米，求当x为多少时，该汽车平均每千米的运输成本最低？最低是多少元？

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20．

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（1）求证：△AEO∽△BEM；
（2）求证：CB是△ABE外接圆的切线；
（3）设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度（0＜t≤3）时，△AOE与△ABE重叠部分的面积为s，求s与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围．

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17．

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（1）写出C、D两点的坐标；
（2）设E、F的运动时间为t（秒），四边形CEFB的面积为S．求出S与t之间的函数关系式，并求出当t为多少时，S有最大值．
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14．

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