Question

23、已知b、c是整数，二次三项式x²+bx+c既是x⁴+6x²+25的一个因式，也是3x⁴+4x²+28x+5的一个因式，求x=1时，x²+bx+c的值．

Answer 1

分析：根据二次三项式x²+bx+c既是x⁴+6x²+25的一个因式，也是3x⁴+4x²+28x+5的一个因式，我们可得到x²+bx+c也必定是x⁴+6x²+25与3x⁴+4x²+28x+5差的的一个因式．通过做差，就实现了降次，最高次幂成为2，与二次三项式x²+bx+c关于x的各次项系数对应相等，解得b、c的值．再将x=1、b、c代入求值．

解答：解：∵二次三项式x²+bx+c既是x⁴+6x²+25的一个因式，也是3x⁴+4x²+28x+5的一个因式，
∴所以也必定是x⁴+6x²+25与3x⁴+4x²+28x+5差的一个因式，而3（x⁴+6x²+25）-3x⁴+4x²+28x+5=14（x²-2x+5），
∴x²-2x+5=x²+bx+c，
∴b=-2，c=5，
∴当x=1时，x²+bx+c=1-2+5=4．

点评：本题考查因式分解．解决本题的关键是通过作差，实现了降次，再根据两代数式相等必是x的各次项系数对应相等．