Question

【题目】如图，已知抛物线过点，，过定点的直线:与抛物线交于、两点，点在点的右侧，过点作轴的垂线，垂足为.

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点在抛物线上运动时，判断线段与的数量关系（、、），并证明你的判断；

（3）为轴上一点，以、、、为顶点的四边形是菱形，设点，求自然数的值.

Answer 1

【答案】（1）； （2）；（3）6

【解析】

（1）利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）设B（，），而F（0，2），利用两点间的距离公式得到，再利用配方法可得到，由于BC＝，所以BF＝BC；
（3）利用菱形的性质得到CB＝CF＝PF，加上CB＝FB，则可判断△BCF为等边三角形，所以∠BCF＝60°，则∠OCF＝30°，于是可计算出CF＝4，所以PF＝CF＝4，从而得到自然数m的值为6；

解：（1）把点（2，2），（4，5）代入得
，

解得:
所以抛物线解析式为；
（2）BF＝BC．
理由如下：
设B（，），而F（0，2），
∴，

∴，
∵BC⊥x轴，
∴BC＝，
∴BF＝BC；
（3）如图，

m为自然数，

则点P在F点上方，
∵以B、C、F、P为顶点的四边形是菱形，
∴CB＝CF＝PF，
而CB＝FB，
∴BC＝CF＝BF，
∴△BCF为等边三角形，
∴∠BCF＝60°，
∴∠OCF＝30°，
在 中，CF＝2OF＝4，
∴PF＝CF＝4，
span>∴P（0，6），
即自然数m的值为6.