Question

1．如图，已知点A（1，2），B（2，1），若点P是x轴上动点，点Q是y轴上动点，点P满足|PA-PB|的值最大，点Q满足QA+QB的值最小，则PQ=$\frac{\sqrt{106}}{3}$．

Answer 1

分析 连接AB并延长交x轴于点P，作A点关于y轴的对称点A′连接A′B交y轴于点Q，求出点Q和P坐标即可得出结论．

解答 解：连接AB并延长交x轴于点P，由三角形的三边关系可知，点P即为x轴上使得|PA-PB|的值最大的点，
∵点B是正方形的中点，
∴点P即为AB延长线上的点，此时P（3，0）即OP=3；
作A点关于y轴的对称点A′连接A′B交y轴于点Q，则A′B即为QA+QB的最小值，
∵A′（-1，2），B（2，1），
设过A′B的直线为：y=kx+b，则$\left\{\begin{array}{l}{2=-k+b}\\{1=2k+b}\\{\;}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{3}}\\{b=\frac{5}{3}}\end{array}\right.$，
∴Q（0，$\frac{5}{3}$），即OQ=$\frac{5}{3}$，
∵直线AB的解析式为y=-x+3，
∴直线AB与x轴的交点为（3，0），
∴P（3，0），
∴OP=3，
∴PQ=$\sqrt{{3}^{2}+（\frac{5}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{106}}{3}$
故答案为：$\frac{\sqrt{106}}{3}$．

点评 本题考查的是轴对称-最短路线问题，根据题意得出P、Q两点的坐标是解答此题的关键．