Question

18．如图，等边△ABC的边长为2，P是BC边上的任一点（与B、C不重合），设BP=x，连接AP，以AP为边向两侧作等边△APD和等边△APE，分别与边AB、AC交于点M、N．
（1）求证：AM=AN；
（2）当x为何值时，线段BM的长度最大；
（3）当∠BAD=15°时，求x的值．

Answer 1

分析 （1）由已知条件可以得出AD=AP，∠DAP=∠BAC=60°，∠ADM=∠APN=60°，从而得出∠DAM=∠PAN，可以得出△ADM≌△APN，就可以得出结论．
（2）首先证得△BPM∽△CAP，然后由相似三角形的对应边成比例，求得BM=-$\frac{1}{2}$x²+x，继而求得答案．
（3）首先连接DE，分别交AB，AC于点G，H，连接PG，由∠BAD=15°，由∠DAP=60°可以得出∠PAG=45°．由已知条件可以得出四边形ADPE是菱形，就有DO垂直平分AP，得到GP=AG，就有∠PAG=∠APG=45°，得出∠PGA=90°，设BG=t，在Rt△BPG中∠APG=60°，就可以求出BP=2t，PG=$\sqrt{3}$t，从而求得t的值，即可以求出结论．

解答 解：（1）证明：∵△ABC、△APD和△APE是等边三角形，
∴AD=AP，∠DAP=∠BAC=60°，∠ADM=∠APN=60°，
∴∠DAM=∠PAN．
在△ADM和△APN中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠DAM=∠PAN}\\{AD=AP}\\{∠ADM=∠APN}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△APN（ASA），
∴AM=AN．

（2）∵△ABC、△ADP是等边三角形，
∴∠B=∠C=∠DAP=∠BAC=60°，
∴∠DAM=∠PAC，
∵∠ADM=∠B，∠DMA=∠BMP，
∴180°-∠ADM-∠DMA=180°-∠B-∠BMP，
∴∠DAM=∠BPM，
∴∠BPM=∠NAP，
∴△BPM∽△CAP，
∴$\frac{BM}{CP}$=$\frac{BP}{CA}$，
∵等边△ABC的边长为2，BP=x，
∴CP=2-x，CA=2，
∴$\frac{BM}{2-x}=\frac{x}{2}$，
∴BM=-$\frac{1}{2}$x²+x=-$\frac{1}{2}$（x-1）²+$\frac{1}{2}$，
∴当x=1时，线段BM的长度最大；

（3）如图，连接DE，分别交AB，AC于点G，H，连接PG，
∵∠BAD=15°，
∵∠DAP=60°，
∴∠PAG=45°．
∵△APD和△APE是等边三角形，
∴四边形ADPE是菱形，
∴DO垂直平分AP，
∴GP=AG，
∴∠PAG=∠APG=45°，
∴∠PGA=90°．
设BG=t，在Rt△BPG中，∠ABP=60°，
∴BP=2t，PG=$\sqrt{3}$t，
∴AG=PG=$\sqrt{3}$t，
∴$\sqrt{3}$t+t=2，
解得t=$\sqrt{3}$-1，
∴x=2t=2$\sqrt{3}$-2．

点评 此题属于三角形的综合题．考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及二次函数的最值问题．注意准确作出辅助线是解此题的关键．