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1.如图,已知矩形ABCD中,点I在∠CAB的平分线AK上运动,过I作IE⊥AD、IF⊥CD,垂足分别为E、F,IE、IF分别交AC于点G、H.
(1)若点H为AC的中点,且KH⊥AC,求GH:AG的值;
(2)当点I运动到什么位置时满足GH=GE+HF,此时矩形EIFD的面积与矩形ABCD的面积比值是多少?

分析 (1)由线段垂直平分线的性质得到∠ACK=∠CAK,由AK平分∠CAB,于是得到∠CAK=∠ACK=∠BAK,求得FI∥DE,推出△AEG∽△HIG,得到比例式,通过等量代换得到结论;
(2)当I运动到△ABC的内心时,GH=GE+HF,如图,过I作IM⊥AC与M,IN⊥AB与N,则IN=IM=EA,证出△AGE≌△GIM,得到EG=MG,同理HM=FH,于是得到S△AGE=S△GMI,S△IMH=S△FHC,求得S△GHI=S△AEG+S△HFC,于是得到S四边形EIFD=S△ADC=$\frac{1}{2}$S矩形ABCD,即可得到结论.

解答 解:(1)∵H是AC的中点,KH⊥AC,
∴CK=AK,
∴∠ACK=∠CAK,
∵AK平分∠CAB,
∴∠CAK=∠ACK=∠BAK,
∵∠CAK+∠ACK+∠BAK=90°,
∴∠CAK=∠ACK=∠BAK=30°,
∵FI∥DE,
∴△AEG∽△HIG,
∴$\frac{GH}{AG}$=$\frac{HI}{AE}$,
∵FI∥BC,
∴∠AHI=∠ACB=∠HAI,
∴HI=AI,
∴$\frac{GH}{AG}$=$\frac{AI}{AE}$=2;

(2)当I运动到△ABC的内心时,GH=GE+HF,
如图,过I作IM⊥AC与M,IN⊥AB与N,
则IN=IM=EA,
∵∠2=∠3,∠4=∠3,
∴∠2=∠4,
∴AG=GI,
在△AGE与△GIM中,$\left\{\begin{array}{l}{∠AEG=∠IMG=90°}&{\;}\\{∠AGE=∠MGI}&{\;}\\{AG=IG}&{\;}\end{array}\right.$,
∴△AGE≌△GIM,
∴EG=MG,
同理HM=FH,
∴S△AGE=S△GMI,S△IMH=S△FHC
∴S△GHI=S△AEG+S△HFC
∴S四边形EIFD=S△ADC=$\frac{1}{2}$S矩形ABCD
∴矩形EIFD的面积与矩形ABCD的面积的比值为$\frac{1}{2}$.

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质,角平分线的性质,三角形的内心,全等三角形的判定和性质,熟练掌握各定理是解题的关键.

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