Question

【题目】已知点O是正方形ABCD对角线BD的中点．
（1）如图1，若点E是OD的中点，点F是AB上一点，且使得∠CEF=90°，过点E作ME∥AD，交AB于点M，交CD于点N．

①∠AEM=∠FEM； ②点F是AB的中点；
（2）如图2，若点E是OD上一点，点F是AB上一点，且使 = = ，请判断△EFC的形状，并说明理由；

（3）如图3，若E是OD上的动点（不与O，D重合），连接CE，过E点作EF⊥CE，交AB于点F，当 = 时，请猜想 的值（请直接写出结论）．

Answer 1

【答案】
（1）证明：①∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABD=45°，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AE=CE，

∵ME∥AD，

∴ME⊥AB，∠AME=∠BME=∠BAD=90°，∠ENC=∠ADC=90°，

∴△BME是等腰直角三角形，四边形BCNM是矩形，

∴BM=EM，BM=CN，

∴EM=CN，

在Rt△AME和Rt△ENC中， ，

∴Rt△AME≌Rt△ENC（HL），

∴∠AEM=∠ECN，

∵∠CEF=90°，

∴∠FEM+∠CEN=90°，

∵∠ECN+∠CEN=90°，

∴∠FEM=∠ECN，

∴∠AEM=∠FEM；

②在△AME和△FME中，∠AME=∠FME=90°，∠AEM=∠FEM，

∴∠EAF=∠EFA，

∴AE=FE，

∵ME⊥AF，

∴AM=FM，

∴AF=2AM，

∵点E是OD的中点，O是BD的中点，

∴ = ，

∵ME∥AD，

∴ = ，

∴ = ，

∴点F是AB的中点；

（2）解：△EFC是等腰直角三角形；理由如下：

过点E作ME∥AD，交AB于点M，交CD于点N．如图所示：

同（1）得：AE=CE，Rt△AME≌Rt△ENC，

∴∠AEM=∠ECN，

∵ = ，O是DB的中点，

∴ = ，

∵ME∥AD，

∴ = ，

∵ = ，

∴AF=2AM，即M是AF的中点，

∵ME⊥AB，

∴AE=FE，

∴∠AEM=∠FEM，FE=CE，

∵∠ECN+∠CEN=90°，

∴∠FEM+∠CEN=90°，

∴∠CEF=90°，

∴△EFC是等腰直角三角形；

（3）解：当 = 时， = ；理由同（1）．

【解析】（1）由正方形的对称性可知AE=CE，再结合其他条件可证出Rt△AME≌Rt△ENC，可得∠AEM=∠ECN，再由同角的余角相等证出结论；由平行线分线段成比例定理可得,DN=AM,AF=2AM,即AF=AB,即点F是AB的中点；（2）模仿第（1）题的图形，缺少过E的MN水平线，因此需要作这条辅助线，同（1）得：AE=CE，Rt△AME≌Rt△ENC，再模仿（1）的方法，运用平行线分线段成比例定理，得出结论；（3）类比（1）.,二者存在2倍关系，可猜想,证法同（1），需作水平的MN线.
【考点精析】认真审题，首先需要了解相似三角形的性质(对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形)，还要掌握相似三角形的判定(相似三角形的判定方法:两角对应相等，两三角形相似（ASA）；直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似； 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）；三边对应成比例，两三角形相似（SSS）)的相关知识才是答题的关键．