Question

已知：△ABC中，∠A=2∠B，且三角形较大的两边长为5，6，设符合条件的三角形的另一边长为m，则m的最大值为

 

．

Answer 1

考点：三角形边角关系

专题：计算题

分析：延长BA到D，使AD=AC，求出∠D=∠ACD=∠B，推出△ACD∽△CBD，推出a²=b²+bc，分为两种情况：①当a=5，c=6时，得出b²+6b=25，求出b，②当a=6，c=5时得出b²+5b=36，求出b，③当a=6，b=5时，36=25+5c，求出c，比较即可得出答案．

解答：解：设BC=a，AB=c，AC=b，
延长BA到D，使AD=AC，
∵AD=AC，
∴∠D=∠ACD，
∴∠CAB=∠D+∠DCA=2∠CDA，
∵∠CAB=2∠B，
∴∠B=∠ACD，
∵∠D=∠D，
∴△ACD∽△CBD，
∴

a

b+c

=

b

a

，
即a²=b²+bc，
当a=5，c=6时，b²+6b=25，
解得：b=

34

-3，
当a=6，c=5时，b²+5b=36，
解得：b=4，b=-9（舍去），
当a=6，b=5时，36=25+5c，
c=

11

5

（舍去），
∵4＞

34

-3，
∴m的最大值是4，
故答案为：4．

点评：本题考查了等腰三角形的性质、三角形三边关系、相似三角形的性质和判定的应用，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目，但有一定的难度，注意要进行分类讨论．