如图,OB是矩形OABC的对角线,抛物线y=-x2+x+6经过B、C两点.
(1)求点B的坐标;
(2)D、E分别是OC、OB上的点,OD=5,OE=2EB,过D、E的直线交x轴于F,试说明OE⊥DF;
(3)若点M是(2)中直线DE上的一个动点,在x轴上方的平面内是否存在另一个点N,使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
解:(1)设x=0,则y=6,则点C的坐标为(0,6), 1分, 又矩形OABC,则BC∥x轴,∵抛物线y=-x2+x+6过B、C两点,则B、C两点关于抛物线的对称轴x=对称, 2分 ∴B点坐标为(3,6)3分 (2)如图1,作EG^ x轴于点G,则EG//BA, ∴△OEG~△OBH,∴==,又∵OE=2EB, ∴=,∴==,∴OG=2,EG=4,∴点E的坐标为(2,4). 4分 又∵点D的坐标为(0,5),设直线DE的解析式为y=kx+b,则,解得k=-,b=5.∴直线DE的解析式为:y=-x+5, 5分 设y=0,则x=10,则OF=10,GF=OF-OG=8, ∴===,又∠OGE=∠EGF=90°,∴△OGE∽△EGF,∴∠EOG=∠FEG ∴∠FEO=∠FEG+∠OEG=∠EOG+∠OEG=90° 7分 其他证法酌情给分 (3)答:存在. ①如图1,当OD=DM=MN=NO=5时,四边形ODMN为菱形.作MP^ y轴于点P,则MP//x轴,∴△MPD~△FOD,∴==. 又∵OF=10. 在Rt△ODF中,FD===5, ∴==, ∴MP=2,PD=.∴点M的坐标为(-2,5+). ∴点N的坐标为(-2,). ②如图2,当OD=DN=NM=MO=5时,四边形ODNM为菱形.延长NM交x轴于点P,则MP^ x轴. ∵点M在直线y=-x+5上,∴设M点坐标为 (a,-a+5),在Rt△OPM中,OP2+PM2=OM2, ∴a2+(-a+5)2=52,解得a1=4,a2=0(舍去), ∴点M的坐标为(4,3),∴点N的坐标为(4,8). ③如图3,当OM=MD=DN=NO时,四边形OMDN为菱形.连接NM,交OD于点P, 则NM与OD互相垂直平分, ∴yM=yN=OP=,∴-xM+5=,∴xM=5, ∴xN=-xM=-5,∴点N的坐标为(-5,). 综上所述,x轴上方的点N有三个,分别为 N1(-2,),N2(4,8),N3(-5,). 10分(每个1分) |
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科目:初中数学 来源:2010年全国中考数学试题汇编《四边形》(10)(解析版) 题型:解答题
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科目:初中数学 来源:2010年广西崇左市中考数学试卷(解析版) 题型:解答题
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