Question

24、已知正方形ABCD．如图1，E是AD上一点，过A作BE的垂线，交BE于点O，交CD于点H，通过证明△ABE≌△ADH，可得：BE=AH；
（1）如图2，E是AD上一点，过BE上一点O作BE的垂线，交AB于点G，交CD于点H，猜想BE与GH的数量关系为

BE=GH

；
（2）如图3，过正方形ABCD内任意一点作两条互相垂直的直线，分别交AD、BC于点E、F，交AB、CD于点G、H，猜想EF与GH的数量关系为

EF=GH

；
（3）当点O在正方形ABCD的边上或外部时，过点O作两条互相垂直的直线，被正方形相对的两边（或它们的延长线）截得的两条线段还相等吗？其中一种情形如图4所示，过正方形ABCD外一点O作互相垂直的两条直线m、n，m与AD、BC的延长线分别交于点E、F，n与AB、DC的延长线分别交于点G、H，试就该图形对你的结论加以证明．

Answer 1

分析：（1）（2）根据图形，即可通过观察，测量并且证明得到：BE=GH；
（2）图3中，作EM⊥BC于M，GN⊥CD于N，根据正方形的性质，可以证得：△EMF≌△GNH，即可证得：GH=EF，在图4中同理可以证得．

解答：解：（1）BE=GH；
（2）EF=GH；
（3）BE=GH．
证明：图3中，作EM⊥BC，GN⊥CD分别于M，N．
则EM=AB，GN=BC，
∴EM=GN，
∵∠FEM+∠GKE=∠GKE+∠NGH=90°，
∴∠FEM=∠NGH，
又∵∠GNH=∠EMF=90°，
∴△EMF≌△GNH，
∴GH=EF；
在图4中，
∵BC=GN，EM=DC，
又∵BC=DC，
∴GN=EM．
∵在直角△GMB和直角△OMF中，∠GBC=∠COF=90°，∠BCG=∠OCF，
∴∠BGC=∠CFO，
又∵AB∥DC，
∴∠BGC=∠GHN，
∴∠GHN=∠CFE，
又∵在直角△GHN和直角△EFM中，GN=EM，
∴△GHN≌△EFM，
∴GH=EF．

点评：本题主要考查了正方形的性质，把证明线段相等的问题转化为证明三角形全等的问题，正确构造三角形是解题的关键．