【题目】为了探索代数式的最小值,
小张巧妙的运用了数学思想.具体方法是这样的:如图,C为线段BD上一动点,分别过点B、D作,连结AC、EC.已知AB=1,DE=5,BD=8,设BC=x.则,则问题即转化成求AC+CE的最小值.
(1)我们知道当A、C、E在同一直线上时,AC+CE的值最小,于是可求得的最小值等于 ,此时x= ;
(2)题中“小张巧妙的运用了数学思想”是指哪种主要的数学思想;
(选填:函数思想,分类讨论思想、类比思想、数形结合思想)
(3)请你根据上述的方法和结论,试构图求出代数式的最小值.
【答案】(1)10,;(2)数形结合思想;(3)13
【解析】
(1)根据两点之间线段最短可知AC+CE的最小值就是线段AE的长度.过点E作EF∥BD,交AB的延长线于F点.在Rt△AEF中运用勾股定理计算求解;
(2)小张巧妙的运用了数形结合思想;
(3)由(1)的结果可作BD=12,过点A作AF∥BD,交DE的延长线于F点,使AB=2,ED=3,连接AE交BD于点C,然后构造矩形AFDB,Rt△AFE,利用矩形的直角三角形的性质可求得AE的值就是代数式的最小值.
解:(1)过点E作EF∥BD,交AB的延长线于F点
根据题意,四边形BDEF为矩形
AF=AB+BF=5+1=6,EF=BD=8
∴
即AC+CE的最小值是10
∵EF∥BD
∴
∴
解得:
故答案为:10;;
(2)小张巧妙的运用了数形结合思想;
(3)过点A作AF∥BD,交DE的延长线于F点
根据题意,四边形ABDF为矩形
EF=AB+DE=2+3=5,AF=DB=12
∴
即AC+CE的最小值是13.
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【题目】如图,△ABC中,D为AB上一点,E为BC上一点,且AC=CD=BD=BE=2.
(1)若∠A=40°,求∠CDE;
(2)若图形中所有线段长均为整数,求CE.
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【题目】已知中,.
(1)如图1,在中,若,且,求证:;
(2)如图2,在中,若,且垂直平分,,,求的长;
(3)如图3,在中,当垂直平分于,且时,试探究,,之间的数量关系,并证明.
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【题目】△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示(坐标系内正方形网格的单位长度为1):
(1)在网格内画出和△ABC以点O为位似中心的位似图形△A1B1C1,使△A1B1C1和△ABC的位似比为2:1且△A1B1C1位于y轴左侧;
(2)分别写出A1、B1、C1三个点的坐标:A1 、B1 、C1 ;
(3)求△A1B1C1的面积为 .
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【题目】如图,在中,,的垂直平分线交于,交于.
(1)若,则的度数是 ;
(2)连接,若,的周长是.
①求的长;
②在直线上是否存在点,使由,,构成的的周长值最小?若存在,标出点的位置并求的周长最小值;若不存在,说明理由.
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【题目】如图,在△ABC中,∠B90°,AB4,BC2,以AC为边作△ACE,∠ACE90°,AC=CE,延长BC至点D,使CD5,连接DE.求证:△ABC∽△CED.
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【题目】体育课上,老师为了解女学生定点投篮的情况,随机抽取8名女生进行每人4次定点投篮的测试,进球数的统计如图所示.
(1)求女生进球数的平均数、中位数;
(2)投球4次,进球3个以上(含3个)为优秀,全校有女生1200人,估计为“优秀”等级的女生约为多少人?
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【题目】知识铺垫
通过小学的学习我们知道:
①正方形的四条边都相等,四个角都是直角如在正方形中,,
.
②等腰三角形中相等的两条边所对的两个角也相等。如在中,如果,那么.
解决问题
如图1,在中,为锐角,点为射线上一点,连接,以为一边且在的右侧作正方形,解答下列问题:
(1)如果,
①如图2,当点在线段上时(与点不重合),线段、之间的数量关系为__________,位置关系为__________.
②如图3,当点在线段的延长线上时,①中的结论是否仍然成立,并说明理由.
拓展延伸
(2)如果,.点在线段上,当__________时,(点、不重合).
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC 的三个顶点分别是 A(﹣3,2),B(0,4),C(0,2).
(1)将△ABC 以点 O 为旋转中心旋转 180°,画出旋转后对应的△A1B1C1;
(2)平移△ABC,使对应点 A2 的坐标为(0,﹣4),写出平移后对应△A2B2C2的中B2,C2点坐标.
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