Question

4．如图，在矩形ABCD中，AD=$\sqrt{2}$AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①∠AED=∠CED；②OE=OD；③BH=HF；④AB=HF，其中正确的有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 ①根据角平分线的定义可得∠BAE=∠DAE=45°，然后求出△ABE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AE=$\sqrt{2}$AB，从而得到AE=AD，然后利用“角角边”证明△ABE和△AHD全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DH，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ADE=∠AED=67.5°，根据平角等于180°求出∠CED=67.5°，从而判断出①正确；
②求出∠AHB=67.5°，∠DHO=∠ODH=22.5°，然后根据等角对等边可得OE=OD=OH，判断出②正确；
③求出∠EBH=∠OHD=22.5°，∠AEB=∠HDF=45°，然后利用“角边角”证明△BEH和△HDF全等，根据全等三角形对应边相等可得BH=HF，判断出③正确；
④判断出△ABH不是等边三角形，从而得到AB≠BH，即AB≠HF，得到④错误．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE=$\sqrt{2}$AB，
∵AD=$\sqrt{2}$AB，
∴AE=AD，
在△ABE和△AHD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠DAE}&{\;}\\{∠ABE=∠AHD=90°}&{\;}\\{AE=AD}&{\;}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△AHD（AAS），
∴BE=DH，
∴AB=BE=AH=HD，
∴∠ADE=∠AED=$\frac{1}{2}$（180°-45°）=67.5°，
∴∠CED=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠AED=∠CED，故①正确；
∵AB=AH，
∵∠AHB=$\frac{1}{2}$（180°-45°）=67.5°，∠OHE=∠AHB（对顶角相等），
∴∠OHE=67.5°=∠AED，
∴OE=OH，
∵∠DHO=90°-67.5°=22.5°，∠ODH=67.5°-45°=22.5°，
∴∠DHO=∠ODH，
∴OH=OD，
∴OE=OD=OH，故②正确；
∵∠EBH=90°-67.5°=22.5°，
∴∠EBH=∠OHD，
在△BEH和△HDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EBH=∠OHD}&{\;}\\{BE=DH}&{\;}\\{∠AEB=∠HDF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BEH≌△HDF（ASA），
∴BH=HF，HE=DF，故③正确；
∵AB=AH，∠BAE=45°，
∴△ABH不是等边三角形，
∴AB≠BH，
∴即AB≠HF，故④错误；
综上所述，结论正确的是①②③共3个；故选：C．

点评 本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质；熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的角，从而得到三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键．