Question

Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，D是直线AC上一点，且AD=2，直线l与直线AB关于直线AC对称，过D作DF⊥BC，交直线BC于F，交直线l于E，DF=2DE，则线段AB长为

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,含30度角的直角三角形,轴对称的性质

专题：分类讨论

分析：根据题意画出图形，得出等边三角形AED，求出DE、DF，设AB=x，求出AC=2x，推出△CAB∽△CDF，得出比例式，代入求出即可．

解答：解：如图所示（1）
∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，
∴∠BAC=60°
∵直线AB和直线l关于直线AC对称，∠BAC=60°
∴∠BAC=∠CAN=60°，
∴∠EAD=∠CAN=60°，
∵DF⊥BC，∠ABC=90°，
∴∠ABC=∠F=90°，
∴AB∥DF，
∴∠D=∠BAC=60°=∠EAD，
∴AE=DE，
∴△AED是等边三角形，
∴DE=AD=2，
∴DF=2DE=4，
设AB=x，
∵∠ABC=90°，∠C=30°，
∴AC=2x，
∵AB∥DF，
∴△CAB∽△CDF，
∴

AB

DF

=

AC

CD

，
∴

x

4

=

2x

2x+2

，
解得：x=0（舍去），x=3．
如图2，同理可得：AB=5．
故答案为：3或5．

点评：本题考查了含30度角的直角三角形性质，相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，关键是求出DE和DF 的长，主要考查了学生的计算和推理能力．