Question

【题目】如图，已知CB＝CA，∠ACB＝90°，点D在边BC上（与B，C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，得出以下结论：①AC＝FG；②S△FAB：S四边形CBFG＝1：2；③∠ABC＝∠ABF；④AD2＝FQAC．其中正确结论的个数是（　　）

A. 1B. 2C. 3D. 4

Answer 1

【答案】D

【解析】

由正方形的性质得出∠FAD=90°,AD=AF=EF,证出∠CAD=∠AFG,由AAS证明△FGA≌△ACD,得出AC=FG,①正确;

证明四边形CBFG是矩形,得出S△FAB= FB FG=S四边形CBFG,②正确;

由等腰直角三角形的性质和矩形的性质得出∠ABC=∠ABF=45°,③正确;

证出△ACD∽△FEQ,得出对应边成比例,得出AD FE=AD =FQ AC,④正确

解：∵四边形ADEF为正方形，

∴∠FAD＝90°，AD＝AF＝EF，

∴∠CAD+∠FAG＝90°，

∵FG⊥CA，

∴∠GAF+∠AFG＝90°，

∴∠CAD＝∠AFG，

在△FGA和△ACD中，

，

∴△FGA≌△ACD（AAS），

∴AC＝FG，故①正确；

∵BC＝AC，

∴FG＝BC，

∵∠ACB＝90°，FG⊥CA，

∴FG∥BC，

∴四边形CBFG是矩形，

∴∠CBF＝90°，S△FAB＝ FBFG＝S四边形CBFG，故②正确；

∵CA＝CB，∠C＝∠CBF＝90°，

∴∠ABC＝∠ABF＝45°，故③正确；

∵∠FQE＝∠DQB＝∠ADC，∠E＝∠C＝90°，

∴△ACD∽△FEQ，

∴AC：AD＝FE：FQ，

∴ADFE＝AD2＝FQAC，故④正确；

故选：D．