Question

如图①，四边形ABCD是正方形，点G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F．
（1）求证：DE-BF=EF；
（2）当点G为BC边中点时，试探究线段EF与GF之间的数量关系，并说明理由；
（3）若点G为CB延长线上一点，其余条件不变．请你在图②中画出图形，写出此时DE、BF、EF之间的数量关系（不需要证明）．

Answer 1

分析：（1）本题的关键是求三角形ADE和ABF全等，以此来得出DE=AF=AE+EF=BE+EF，这两个三角形中已知的条件有AD=BA，一组直角，关键是再找出一组对应角相等，可通过证明∠DAF和∠ABF来实现．（通过平行和等角的余角相等来证得）
（2）可通过证明三角形ABG、ABF、BFG相似来得出AB，BG；AF，BF；BF，BG之间的比例关系，根据AB=2BG，来得出AF，BF，BF，FG之间的比例关系，然后根据（1）中得出的结果来求BF，FG的大小关系．
（3）方法同（1）还是正三角形ADE和ABF全等，得出DE=AF，BF=AE，只不过本题的结论是DE+BF=EF．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，BF⊥AG，DE⊥AG，
∴DA=AB，∠BAF+∠DAE=∠DAE+∠ADE=90°，
∴∠BAF=∠ADE，
∴△ABF≌△DAE，
∴BF=AE，AF=DE，
∴DE-BF=AF-AE=EF．

（2）解：EF=2FG，
理由如下：
∵AB⊥BC，BF⊥AG，AB=2BG，
∵∠BAG=∠GBF，
∴△ABG∽△BFG，
同理可得，△AFB∽△BFG∽△ABG，
∴

AB

BG

=

AF

BF

=

BF

FG

=2，
∴AF=2BF，BF=2FG，
由（1）知，AE=BF，
∴EF=AF-AE=AF-BF=BF=2FG．

（3）解：如图，DE+BF=EF．

点评：本题中通过全等三角形得出简单的线段相等以及利用相似三角形的对应边成比例是解题的关键所在．