Question

已知：如图，平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的边长为4，它的顶点A在x轴的正半轴上运动，顶点D在y轴的正半轴上运动（点A，D都不与原点重合），顶点B，C都在第一象限，且对角线AC，BD相交于点P，连接OP．
（1）当OA=OD时，点D的坐标为______，∠POA=______°；
（2）当OA＜OD时，求证：OP平分∠DOA；
（3）设点P到y轴的距离为d，则在点A，D运动的过程中，d的取值范围是什么？

Answer 1

（1）解：∵四边形ABCD为正方形，
∴△ADP是等腰直角三角形，
又∵OA=OD，
∴△AOD是等腰直角三角形，
∴四边形AODP是正方形，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴AC=BD==4，
∴AP=DP=×4=2，
∴点P的坐标为（0，2），∠POA=45°；

（2）证明：如图，过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴PD=PA，∠DPA=90°，
∵PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，
∴∠PMO=∠PNO=∠PND=90°，
∵∠NOM=90°，
∴四边形NOMP中，∠NPM=90°，
∴∠DPA=∠NPM，
∵∠1=∠DPA-∠NPA，∠2=∠NPM-∠NPA，
∴∠1=∠2，
∵在△DPN和△APM中，
，
∴△DPN≌△APM（AAS），
∴PN=PM，
∴OP平分∠DOA；

（3）解：当A、O重合时，点P到y轴的距离最小，
d=×4=2，
当OA=OD时，点P到y轴的距离最大，d=PD=2，
∵点A，D都不与原点重合，
∴2＜d≤2．
分析：（1）根据正方形的性质求出△ADP是等腰直角三角形，再判断出△AOD是等腰直角三角形，再求出四边形AODP是正方形，然后根据正方形的性质求出AP=DP=2，写出点P的坐标即可；
（2）过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，根据正方形的对角线互相平分且相等可得PD=PA，再根据同角的余角相等求出∠1=∠2，然后利用“角角边”证明△DPN和△APM全等，根据全等三角形对应边相等可得PM=PN，然后利用到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可；
（3）根据垂线段最短，A、O重合时，点P到y轴的距离最小，为正方形ABCD边长的一半，OA=OD时点P到y轴的距离最大，为PD的长度，即可得解．
点评：本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，（2）作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，（2）根据垂线段最短判断出最小与最大值的情况是解题的关键．