Question

如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G．
求证：AE=CG．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：根据题意得到三角形ABC为等腰直角三角形，且CD为斜边上的中线，利用三线合一得到CD垂直于AB，且CD为角平分线，得到∠CAE=∠BCG=45°，再利用同角的余角相等得到一对角相等，AC=BC，利用ASA得到三角形AEC与三角形CGB全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证．

解答：证明：∵点D是AB中点，AC=BC，∠ACB=90°，
∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠CAD=∠CBD=45°，
∴∠CAE=∠BCG，
又∵BF⊥CE，
∴∠CBG+∠BCF=90°，
又∵∠ACE+∠BCF=90°，
∴∠ACE=∠CBG，
在△AEC和△CGB中，

∠CAE=∠BCG AC=BC ∠ACE=∠CBG

，
∴△AEC≌△CGB（ASA），
∴AE=CG．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．