Question

如图，已知函数y=

a

x

（x＞0）的图象与直线y=kx+b相交于A（1，3）、B（m，1）两点．
（1）求a、m的值；
（2）求直线AB的解析式；
（3）过A作AC⊥x轴；过B作BD⊥x轴，垂足分别为C、D，连接OA、OB，求证：△OAC≌△BOD；
（4）求△AOB的面积．

Answer 1

分析：（1）把交点坐标分别代入反函数关系式解方程得a、m的值；
（2）已知A、B两点坐标易求直线解析式；
（3）利用题目已知条件根据SAS即可判断；
（4）根据S_△AOB=S_梯形ACDB即可求出面积．

解答：解：（1）∵反比例函数过A、B两点，
∴a=3，m=3，
∴B点坐标为（3，1）；

（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，
∴

1=3k+b 3=k+b

，
解得

k=-1 b=4

，
∴直线AB的解析式为y=-x+4；

（3）根据题意，OC=BD=1，AC=OD=3，
而∠ACO=∠BDO，
∴△OAC≌△BOD；

（4）依题意得S_△AOB=S_梯形ACDB=

1

2

×（1+3）×2=4．

点评：此题将几何与函数结合起来，把几何图形放在反比例函数图象的背景中，综合利用它们解决问题，解题时注意坐标与线段的关系．