Question

7．在直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k为常数，且k＞0）在第一象限的图象交于点E，F，过E作EM⊥y轴于M，过点F作FN⊥x轴于N，直线EM与FN交于点C．
（1）若E是MC的中点，且四边形OECF的面积为2，求反比例函数解析式；
（2）若C（a，b），连接M、N，判断MN与EF的位置关系，并证明你的结论；
（3）若$\frac{BE}{BF}$=$\frac{1}{m}$（m为大于1的常数），记△CEF的面积为S₁，△OEF的面积为S₂，求$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$的值．（用含m的代数式表示）

Answer 1

分析 （1）设出点E的坐标，由此可得出点C、F的坐标，再利用分割图形法表示出四边形OECF的面积，由此即可得出k的值，此题得解；
（2）由点C的坐标找出点M、N、E、F的坐标，由此即可得出CM、CN、CE、CF的长度，结合$\frac{CE}{CF}=\frac{a}{b}=\frac{CM}{CN}$即可得出EF∥MN；
（3）过点F作FG⊥y轴于点G，根据平行线的性质找出ME：MC的值，设出点C的坐标，表示出点E、F的坐标，结合三角形的面积公式找出S₁、S₂的值，二者相比即可得出结论．

解答 解：（1）∵点E在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k为常数，且k＞0）的图象上，
∴设点E的坐标为（n，$\frac{k}{n}$）（n＞0），则点C（2n，$\frac{k}{n}$），点F（2n，$\frac{k}{2n}$），
∴S_{四边形OECF}=S_矩形ONCM-S_△OME-S_△ONF=2n•$\frac{k}{n}$-$\frac{1}{2}$k-$\frac{1}{2}$k=k=2，
∴反比例函数解析式为y=$\frac{2}{x}$．
（2）∵C（a，b），CM⊥y轴，CN⊥x轴，
∴M（0，b），N（a，0），E（$\frac{k}{b}$，b），F（a，$\frac{k}{a}$），
∴CM=a，CN=b，CE=a-$\frac{k}{b}$=$\frac{ab-k}{b}$，CF=b-$\frac{k}{a}$=$\frac{ab-k}{a}$，
∴$\frac{CE}{CF}=\frac{a}{b}=\frac{CM}{CN}$，
∴EF∥MN．
（3）过点F作FG⊥y轴于点G，如图所示．
∵CM⊥y轴，FG⊥y轴，
∴CM∥FG，MC=FG，
∴$\frac{ME}{MC}=\frac{ME}{GF}=\frac{BE}{BF}$=$\frac{1}{m}$，
设点C的坐标为（a，b），则E（$\frac{a}{m}$，b），F（a，$\frac{b}{m}$），
∴S₁=$\frac{1}{2}$×（a-$\frac{a}{m}$）•（b-$\frac{b}{m}$）=$\frac{1}{2}$$\frac{（m-1）^{2}}{{m}^{2}}$a•b；
S₂=a•b-$\frac{1}{2}$•$\frac{ab}{m}$-$\frac{1}{2}$•$\frac{ab}{m}$-$\frac{1}{2}$$\frac{（m-1）^{2}}{{m}^{2}}$a•b=$\frac{1}{2}$$\frac{{m}^{2}-1}{{m}^{2}}$a•b．
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{\frac{1}{2}\frac{（m-1）^{2}}{{m}^{2}}ab}{\frac{1}{2}\frac{{m}^{2}-1}{{m}^{2}}ab}$=$\frac{m-1}{m+1}$．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、平行线的判定与性质以及三角形的面积，解题的关键是：（1）求出k值；（2）找出$\frac{CE}{CF}=\frac{a}{b}=\frac{CM}{CN}$；（3）用含m的值表示出S₁、S₂的值．本题属于中档题，难道不大，解决该题型题目时，利用平行线的性质找出对应线段之间的关系是关键．