Question

如图，直线AE与以AB为直径的⊙O相切于点A，点C、D在⊙O上，并分别位于AB的两侧，∠EAC=60°．
（1）求∠D的度数；
（2）当BC=4时，求劣弧AC的长．

Answer 1

解：（1）∵AE是⊙O的切线，
∴BA⊥AE，即∠BAE=90°，
∵∠EAC=60°，∴∠BAC=30°，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，
∴∠B=∠ACB-∠BAC=60°，
∵∠B与∠D都是弧AC所对的圆周角，
∴∠D=∠B=60°；
（2）连接OC，
∵OB=OC，∠B=60°，
∴△OBC是等边三角形．
∴OB=BC=4，∠BOC=60°，
∴∠AOC=120°，
∴劣弧AC的长==．
分析：（1）由AE为圆O的切线，利用切线的性质得到BA与AE垂直，由∠EAC的度数求出∠BAC的度数，再由AB为圆O的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到∠ACB为直角，可得出∠B的度数，最后利用同弧所对的圆周角相等即可求出∠D的度数；
（2）连接OC，由OB=OC，且∠B为60°，得到三角形BOC为等边三角形，得到OB=BC=4，∠BOC为60°，利用邻补角定义得到∠AOC为120°，由半径为4，利用弧长公式即可求出劣弧AC的长．
点评：此题考查了切线的性质，以及弧长的计算，涉及的知识有：圆周角定理，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，以及弧长公式，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．