Question

7．如图，已知△ABC中，D、G分别是边BC、AC上的点，连AD、BC相交于点E，BE=BD．过点C作AD的平行线与BG的延长线于点F，$\frac{CD}{BD}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{DE}{EA}$=$\frac{2}{3}$．
（1）求$\frac{FG}{BG}$的值；
（2）若BC=$\sqrt{3}$FC，求证：AB=BF；
（3）若AB=AD，直接写出$\frac{CF}{BC}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

Answer 1

分析 （1）利用DE∥CF可证明△BDE∽△BCF，利用相似比得到$\frac{DE}{CF}$=$\frac{BE}{BF}$=$\frac{2}{3}$，设DE=2a，则CF=3a，所以EA=3a，再利用AE∥CF得到$\frac{EG}{FG}$=$\frac{AE}{CF}$=$\frac{AG}{CG}$=1，加上BE=2EF=4GF，于是得到$\frac{FG}{BG}$=$\frac{1}{5}$；
（2）作BH⊥DE，如图，根据等腰三角形的性质得到DH=EH=a，利用DE∥CF得到BC=BF=$\sqrt{3}$CF=3$\sqrt{3}$a，所以BE=2$\sqrt{3}$a，再证明△BEH∽△AEG得到∠BHE=∠AGE=90°，则BG垂直平分AC，所以BA=BC，于是得到AB=BF；
（3）证明△DBE∽△DAB，利用相似比BD=$\sqrt{10}$a，则BC=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$a，然后计算$\frac{CF}{BC}$的值．

解答 （1）解：∵DE∥CF，
∴△BDE∽△BCF，
∴$\frac{DE}{CF}$=$\frac{BE}{BF}$=$\frac{BD}{BC}$，
∵BD=2CD，
∴$\frac{DE}{CF}$=$\frac{BE}{BF}$=$\frac{2CD}{2CD+CD}$=$\frac{2}{3}$，
设DE=2a，则CF=3a，
∵$\frac{DE}{EA}$=$\frac{2}{3}$．
∴EA=3a，
∵AE∥CF，
∴$\frac{EG}{FG}$=$\frac{AE}{CF}$=$\frac{AG}{CG}$=$\frac{3a}{3a}$=1，
∴BE=2EF=4GF，
∴$\frac{FG}{BG}$=$\frac{FG}{FG+4FG}$=$\frac{1}{5}$；
（2）证明：作BH⊥DE，如图，
∵BD=BE，
∴DH=EH=a，
∵DE∥CF，
∴BC=BF=$\sqrt{3}$CF=3$\sqrt{3}$a，
∴BE=2$\sqrt{3}$a，
∵$\frac{BE}{AE}$=$\frac{2\sqrt{3}a}{3a}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$，$\frac{EH}{EG}$=$\frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{2}a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∵$\frac{BE}{AE}$=$\frac{EH}{EG}$，
而∠BEH=∠AEG，
∴△BEH∽△AEG，
∴∠BHE=∠AGE=90°，
由（1）得AG=CG，
∴BG垂直平分AC，
∴BA=BC，
∴AB=BF；
（3）解：∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∵BD=BE，
∴∠BED=∠BDE，
∴∠BED=∠ABD，
而∠BDE=∠ADB，
∴△DBE∽△DAB，
∴BD：DA=DE：BD，即BD：5a=2a：BD，
∴BD=$\sqrt{10}$a，
∴BC=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$a，
∴$\frac{CF}{BC}$=$\frac{3a}{\frac{3\sqrt{10}a}{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
故答案为$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查了相似综合题：熟练掌握相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质；构建相似三角形是解决（2）小题的关键；会应用代数式表示线段之间的关系．