【题目】甲、乙两组同时加工某种零件,乙组工作中有一次停产更换设备,更换设备后,乙组的工作效率是原来的2倍.两组各自加工零件的数量y(件)与时间x(时)的函数图象如图所示.
(1)直接写出甲组加工零件的数量y与时间x之间的函数关系式;
(2)求乙组加工零件总量a的值;
(3)甲、乙两组加工出的零件合在一起装箱,每满300件装一箱,零件装箱的时间忽略不计,求经过多长时间恰好装满第1箱?
【答案】(1)y=60x(0≤x≤6);(2)a=300;(3)经过3小时恰好装满第1箱.
【解析】
(1)利用待定系数法求一次函数解析式即可;
(2)利用乙的原来加工速度得出更换设备后乙组的工作速度,计算即可;
(3)分时间段讨论,假设经过x小时恰好装满第1箱,列方程求解即可.
解:(1)∵图象经过原点及(6,360),
∴设解析式为:y=kx,
∴6k=360,解得k=60,
∴y=60x(0≤x≤6);
故答案为y=60x(0≤x≤6);
(2)乙2小时加工100件,
∴乙的加工速度是:每小时50件,
∵乙组在更换设备后工作效率是原来的2倍.
∴更换设备后,乙组的工作速度是:每小时加工50×2=100(件),
a=100+100×(4.8–2.8)=300;
(3)乙组更换设备后,乙组加工的零件的个数y与时间x的函数关系式为:
y=100+100(x–2.8)=100x–180,
当0≤x≤2时,60x+50x=300,解得x=(不合题意舍去);
当2<x≤2.8时,100+60x=300,解得x=(不合题意舍去);
∵当2.8<x≤4.8时,60x+100x–180=300,
解得x=3,
∴经过3小时恰好装满第1箱.
答:经过3小时恰好装满第1箱.
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【题目】(12分)如图,以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆,经过A、B两点,且与BC边交于点E,D为BE的下半圆弧的中点,连接AD交BC于F,AC=FC.
(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)已知圆的半径R=5,EF=3,求DF的长.
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【题目】请阅读下列材料,并完成相应的任务:
在数学中,利用图形在变化过程中的不变性质,常常可以找到解决问题的办消去.著名美籍匈牙利数学家波利亚在他所著的《数学的发现》一书中有这样一个例子:请问如何在一个三角形ABC的AC和BC两边上分别取一点X和Y,使得AX=BY=XY.(如图)解决这个问题的操作步骤如下:
第一步,在CA上作出一点D,使得CD=CB,连接BD.第二步,在CB上取一点Y',作Y'Z∥CA,交BD于点Z',并在AB上取一点A',使Z'A'=Y'Z'.第三步,过点A作AZ∥A'Z',交BD于点Z.第四步,过点Z作ZY∥AC,交BC于点Y,再过点Y作YX∥ZA,交AC于点X.
则有AX=BY=XY.
下面是该结论的部分证明:
证明:∵AZ∥A'Z',∴∠BA'Z'=∠BAZ,
又∵∠A'BZ'=∠ABZ.∴△BA'Z'~△BAZ.
∴ .
同理可得.∴.
∵Z'A'=Y'Z',∴ZA=YZ.
在数学中,利用图形在变化过程中的不变性质,常常可以找到解决问题的办消去.著名美籍匈牙利数学家波利亚在他所著的《数学的发现》一书中有这样一个例子:请问如何在一个三角形ABC的AC和BC两边上分别取一点X和Y,使得AX=BY=XY.(如图)解决这个问题的操作步骤如下:
第一步,在CA上作出一点D,使得CD=CB,连接BD.第二步,在CB上取一点Y',作Y'Z∥CA,交BD于点Z',并在AB上取一点A',使Z'A'=Y'Z'.第三步,过点A作AZ∥A'Z',交BD于点Z.第四步,过点Z作ZY∥AC,交BC于点Y,再过点Y作YX∥ZA,交AC于点X.
则有AX=BY=XY.
下面是该结论的部分证明:
证明:∵AZ∥A'Z',∴∠BA'Z'=∠BAZ,
又∵∠A'BZ'=∠ABZ.∴△BA'Z'~△BAZ.
∴ .
同理可得.∴.
∵Z'A'=Y'Z',∴ZA=YZ.
任务:(1)请根据上面的操作步骤及部分证明过程,判断四边形AXYZ的形状,并加以证明;
(2)请再仔细阅读上面的操作步骤,在(1)的基础上完成AX=BY=XY的证明过程;
(3)上述解决问题的过程中,通过作平行线把四边形BA'Z'Y'放大得到四边形BAZY,从而确定了点Z,Y的位置,这里运用了下面一种图形的变化是 .
A.平移 B.旋转 C.轴对称 D.位似
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【题目】已知边长为1的正方形ABCD中,P是对角线AC上的一个动点(与点A. C不重合),过点P作PE⊥PB,PE交射线DC于点E,过点E作EF⊥AC,垂足为点F,当点E落在线段CD上时(如图),
(1)求证:PB=PE;
(2)在点P的运动过程中,PF的长度是否发生变化?若不变,试求出这个不变的值,若变化,试说明理由;
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【题目】已知△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D、E分别是AB、AC的中点,将△ADE绕点A按顺时针方向旋转一个角度α(0°<α<90°)得到△AD'E′,连接BD′、CE′,如图1.
(1)求证:BD′=CE';
(2)如图2,当α=60°时,设AB与D′E′交于点F,求的值.
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【题目】如图,点C、E分别在直线AB、DF上,小华想知道∠ACE和∠DEC是否互补,但是他没有带量角器,只带了一副三角板,于是他想了这样一个办法:首先连结CF,再找出CF的中点O,然后连结EO并延长EO和直线AB相交于点B,经过测量,他发现EO=BO,因此他得出结论:∠ACE和∠DEC互补,而且他还发现BC=EF.小华的想法对吗?为什么?
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣1,0),B(4,0),C(0,3)三点,D为直线BC上方抛物线上一动点,DE⊥BC于E.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)如图1,求线段DE长度的最大值;
(3)如图2,设AB的中点为F,连接CD,CF,是否存在点D,使得△CDE中有一个角与∠CFO相等?若存在,求点D的横坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,对称轴为直线x=2的抛物线经过点A(-1,0),C(0,5)两点,与x轴另一交点为B,已知M(0,1),E(a,0),F(a+1,0),点P是第一象限内的抛物线上的动点.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)当a=1时,求四边形MEFP面积的最大值,并求此时点P的坐标;
(3)若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形,求a为何值时,四边形PMEF周长最小?请说明理由.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,按下列步骤作图:①以点B为圆心,适当长为半径画弧,与AB,BC分别交于点D,E;②分别以D,E为圆心,大于 DE的长为半径画弧,两弧交于点P;③作射线BP交AC于点F;④过点F作FG⊥AB于点G.下列结论正确的是( )
A. CF=FG B. AF=AG C. AF=CF D. AG=FG
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