Question

已知抛物线y=x²+px+q上有一点M（x₀，y₀）位于x轴下方．
（1）求证：此抛物线与x轴交于两点；
（2）设此抛物线与x轴的交点为A（x₁，0），B（x₂，0），且x₁＜x₂，求证：x₁＜x₀＜x₂．

Answer 1

分析：（1）由于要证明即抛物线与x轴交于两点，就是要证△=p²-4q＞0即可求解；
（2）由于此抛物线与x轴的交点为A（x₁，0），B（x₂，0），且x₁＜x₂，要证明x₁＜x₀＜x₂即要证（x₀-x₁）（x₀-x₂）＜0即可，而这个不等式利用根与系数的关系即可求解．

解答：解：（1）∵y=x²+px+q上有一点M（x₀，y₀）位于x轴下方，
∴y₀=x₀²+px₀+q=（x₀+

p

2

）²-

p2-4q

4

＜0，
∴

p2-4q

4

＞（x₀+

p

2

）²≥0，
∴p²-4q＞0，
∴△＞0，
∴此抛物线与x轴交于两点；

（2）∵x₁+x₂=-p，
x₁•x₂=q，
∴y₀=x₀²+px₀+q=x₀²-（x₁+x₂）x₀+x₁•x₂＜0，
∴（x₀-x₁）（x₀-x₂）＜0，
故x₁＜x₀＜x₂．

点评：此题主要考查了抛物线与x轴的交点，其中：
（1）抛物线与x轴交点问题常转化为二次方程根的个数、根的符号特征、根的关系来探讨，需综合运用判别式、韦达定理等知识．
（2）对较复杂的二次方程实根分布问题，常转化为用函数的观点来讨论，基本步骤是：在直角坐标系中作出对应函数图象，由确定函数图象大致位置的约束条件建立不等式组．