分析 (1)作辅助线连接AO并延长交BC于点H.连接OE、OD.由等腰三角形三线合一得出OH平分ED.再由CE=CH-EH,BD=BH-DH,即可得出BD=CE.
(2)在Rt△ABC中,易得出BC的值,利用△PBQ∽△QCR,得出$\frac{BP}{CQ}$=$\frac{BQ}{CR}$,列出关于t的式子,即可求出t的值.
(3)设⊙O与AB相切于点M,作辅助线连接AO并延长交BC于点H.连接OM、OB、OP、OQ,由点O与点B关于PQ对称,PQ垂直平分BO.可得OP=BP,OQ=BQ.又⊙O与AB相切于点M,可得出OM⊥AB.设BP=a,在Rt△OMP中,利用勾股定理即可得出a=5;由(1)可得AH是△ABC的高,BH,OH的值,设BQ=b,在Rt△OHB中,利用勾股定理即可得出b的值,即可得出t的值;由x=BQ÷3求解即可.
解答 证明:(1)如图1,连接AO并延长交BC于点H.连接OE、OD.
∵⊙O与AB、AC两边都相切,
∴点O到AB、AC两边的距离相等.
∴AH是∠CAB的平分线.
∵AB=AC,
∴AH⊥BC,AH平分BC.
∵OE=OD,OH⊥ED,
∴OH平分ED.
∵CE=CH-EH,BD=BH-DH,
且CH=BH,EH=DH,
∴BD=CE.
(2)解:在Rt△ABC中,BC=$\sqrt{122+122}$=12$\sqrt{2}$.
∵△PBQ∽△QCR,
∴$\frac{BP}{CQ}$=$\frac{BQ}{CR}$,即$\frac{12-t}{12\sqrt{2}-3t}$=$\frac{3t}{1.5t}$.解得t=$\frac{24\sqrt{2}-12}{5}$.
(3)解:设⊙O与AB相切于点M,连接AO并延长交BC于点H.连接OM、OB、OP、OQ,
∵点O与点B关于PQ对称,
∴PQ垂直平分BO.
∴OP=BP,OQ=BQ.
∵⊙O与AB相切于点M,
∴OM⊥AB.
设BP=a,在Rt△OMP中,(12-4-a)2+42=a2,解得a=5;
∵由(1)可得AH是△ABC的高,
∴BH=$\frac{12}{\sqrt{2}}$=$6\sqrt{2}$,OH=2$\sqrt{2}$,
设BQ=b,在Rt△OHB中,(6$\sqrt{2}$-b)2+(2$\sqrt{2}$)2=b2,解得b=$\frac{10\sqrt{2}}{3}$.
t=$\frac{12-5}{1}$=7s;x=$\frac{10\sqrt{2}}{3}$÷7=$\frac{10\sqrt{2}}{21}$cm.
点评 本题主要考查了圆的综合题,涉及等腰三角形的性质,勾股定理,切线的性质等知识,解题的关键是正确作出辅助线,灵活运用对称的图形的性质.
科目:初中数学 来源:2017届江西省九年级下学期第一次模拟考试数学试卷(解析版) 题型:解答题
如图,已知:在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,AB=AD=25,BC=32,连接BD,AE⊥BD,垂足为E.
(1)求证:△ABE∽△DBC;
(2)求线段AE的长.
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科目:初中数学 来源: 题型:填空题
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | 4.4 | B. | 3.4 | C. | 2.4 | D. | 1.4 |
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | 7 | B. | 9 | C. | 19 | D. | 21 |
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
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